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脉冲微分方程数值方法的渐近稳定性

冉晓娟  
【摘要】: 脉冲微分系统的研究始于1960年V. D. Mil’man和A.D. Myshkisa的工作.经过四十多年的研究,脉冲微分方程的理论已经得到深入的发展,这些理论研究主要是针对脉冲微分方程解析解.有关这方面的重要结论我们可以参看V. Lakshmikantham,D. Bainov,P. Simeonov,S. Kostadinov和N. V. Minh的著作.然而对于大多数的脉冲微分方程来说要么解析解求解过程非常繁琐,要么其解析解根本无法求出.另一方面,许多实际问题不需要求解脉冲微分方程的解析解,而只需要数值解.这也就是为什么我们要研究脉冲微分方程数值解的原因.本文的主要结果可以概括如下: 第一章叙述了脉冲微分方程的发展概况,并建立本论文要研究的方程,给出使方程渐近稳定的充要条件. 第二章对脉冲微分方程进行了具体描述,介绍了脉冲微分方程解的定义以及解的存在性、唯一性等一些定理. 第三章构造了适用于求解脉冲微分方程的θ-方法,讨论了此数值方法的渐近稳定性,得出使θ-方法渐近稳定的充分必要条件,并给出数值算例,形象的验证了θ-方法的保阶性和渐近稳定性,特别地,给出一个有趣的例子,从反例中可以看出脉冲微分方程与一般微分方法在数值计算中的差异. 第四章主要研究高阶的数值方法,构造了适用于求解脉冲微分方程的等步长Runge-Kutta方法,讨论了方法的渐近稳定性,得出使Runge-Kutta方法渐近稳定的充分必要条件,并给出高阶A-稳定的Runge-Kutta方法的收敛阶以及将方法运用到具体方程时如何选择方法使得方法渐近稳定,最后给出数值算例,对方法的保阶性以及算法的高精度进行了形象地说明.


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