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黎曼流形上的Trudinger不等式

李天祥  
【摘要】: 对于范数不等式,若它在某个域上的“平均值”在某种程度上被它的梯度所控制,就称其为广义的Poincaré不等式。广义的Poincaré不等式包括Poincaré不等式,Caccioppoli不等式,Hardy-Littewood不等式和反向H¨older不等式等,Trudinger不等式也是一类广义的Poincaré不等式,在研究抛物方程和椭圆方程时有重要的作用。经典的Trudinger不等式已经得到了广泛的研究。但实际上,欧氏空间的特点限制了它的应用范围,流形作为更一般的空间形式,比欧氏空间有更一般的应用,因此流形上的Trudinger不等式有更广泛的应用。 本文通过同胚映射将流形拉到欧氏空间上,在欧氏空间上作出局部结果,再将其拉回流形,并由单位分解得到我们需要的结果。通过这种方法,我们推广了欧氏空间上的Trudinger不等式,得到了黎曼流形上的Trudinger不等式,讨论了它在黎曼流形上成立的充要条件,随后给出了黎曼流形上s-John域中的其他一些Poincaré型不等式。


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