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概周期型函数和概周期型微分方程的解

江利娜  
【摘要】: 本文主要包括两部分内容的研究:一部分是关于概周期型函数及其性质的研究讨论,另一部分是关于概周期型微分方程的概周期型解的存在性的讨论。 带逐段常变量微分方程在生物问题和双曲动力系统等方面有重要的应用。这类方程在单位长的区间内具有连续系统的性质,解在任意两个相连区间端点的连续性又诱导了解在这些点的值的回复关系,进而它们结合了微分方程和差分方程的性质,是连续和离散的统一。一些数学工作者把概周期型函数应用到此类方程中,利用此类方程对应的差分方程的概周期型序列解,讨论此类微分方程的概周期、伪概周期解的存在性。 Sarason定义了遥远概周期函数,但没有将它应用到微分方程中。本文考虑将遥远概周期函数和带逐段常变量微分方程相结合。首先给出并证明遥远概周期函数的性质,研究遥远概周期函数和遥远概周期序列之间的关系。然后利用得到的遥远概周期函数的性质,研究差分方程的遥远概周期序列解的存在性,进而证明带逐段常变量线性和非线性微分方程遥远概周期解的存在性。 线性微分方程的概周期型解已经得到了一些数学工作者的研究。鉴于对常微分方程概周期型解的研究方法,本文利用线性微分方程解的形式,结合遥远概周期函数本身的构成方式,证明线性微分方程遥远概周期解的存在性。 Stepanov概周期函数、等度Weyl概周期函数,两类概周期型函数在许多文献中进行了较全面的研究,并发展了在微分方程中的应用,但对于Weyl概周期函数的研究却很少。本文考虑Weyl概周期函数,利用概周期函数的三角多项式逼近的定义方式定义Weyl概周期函数,研究Weyl概周期函数的性质,分析函数的傅立叶展式。 概周期函数理论在概率空间理论中也有所发展。利用函数的概率给出概率空间中概周期函数的定义,并研究概率空间中概周期函数的性质。在随机理论的研究中,二阶矩随机过程在均方意义下是Banach空间,具有很好的性质。因此本文考虑将概周期函数理论应用到均方理论中。首先提出均方概周期随机过程的概念,并研究定义的等价形式。然后在此概念的基础上研究均方概周期随机过程的一些基本性质。最后将均方概周期随机过程与随机微分方程和Ito随机微分方程相联系起来,解决了随机微分方程均方概周期解的存在性。


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