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域上矩阵代数保持k-幂等关系的映射

王忠英  
【摘要】: 矩阵代数是代数学的一个重要的分支,它在计算机、图论、经济学、控制论等方面都有许多应用.保持问题是矩阵代数中一个非常有趣的研究领域,而幂等保持问题是其中一类重要的研究课题,幂等保持问题的结果可以用于解决某些物理问题,用于刻画矩阵半群的一般保持问题及李代数上的保持问题.因此,近年来保持问题的研究十分活跃. 本文在介绍保持问题的发展概况之后,对矩阵代数上保持k -幂等关系( k为大于1的整数)的问题进行了系统的研究,主要工作如下: (1)给出了保持k -幂等关系的映射的定义,利用归纳法,刻画了全矩阵代数上保持k -幂等关系的映射.由于k为大于1的任意整数,k的任意性使得该映射的刻画比以往保持幂等的映射的刻画更为复杂,当然,此问题的解决,使得已有的保持幂等关系的映射的相关结果成为本文结果的特例.我们的结果表明全矩阵代数上的保持k -幂等关系的映射的形式是标准的. (2)刻画了n≥3时上三角矩阵代数到全矩阵代数的保持k -幂等关系的映射.由于上三角矩阵代数中可用于刻画的“特征”元素少于全矩阵代数,因而研究的难度加大.所用的方法与前面的全矩阵代数上的方法也有所不同,我们先刻画了3阶上三角矩阵与O_(n-3)的直和的方阵的像,利用所得结果回过来再刻画2阶上三角矩阵与O_(n-2)的直和的方阵的像,进而确定所有阶数为n上三角矩阵的像.经证明,此映射的形式是标准的. (3)刻画了对称矩阵空间到全矩阵空间保持立方幂等的映射.由于对称矩阵的特殊性,位于(i , j )与( j , i )位置的元素相同,它们的像元素之间必有一定的关系,因而在刻画对称矩阵的像时要弄清楚它们的像元素之间的关系,进而推出映射的最终表达形式.经研究,对称矩阵空间到全矩阵空间保持立方幂等的映射的形式是标准的.


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