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随机脉冲微分方程数值方法的收敛性与T-稳定性

杨宁  
【摘要】: 随机脉冲微分方程作为重要的数学模型在人口动力学、控制科学与经济学等很多研究领域中被广泛应用。通常情况下,随机脉冲微分方程无法求得显式解,因此发展适用的数值方法并讨论相应数值解的性态就成为了既具理论意义又有应用价值的研究课题。 本文主要讨论了应用于非线性随机脉冲微分方程的Euler-Maruyama方法与半隐式Euler方法的收敛性,同时对Euler-Maruyama方法应用于随机脉冲微分方程具有的一般形式的线性试验方程的T-稳定性进行了分析,并且也对非线性随机脉冲微分方程的解析解所具有的性质做了一些基本的研究。 论文以解析解的存在唯一性、稳定性及数值方法的收敛性、稳定性为视角,回顾了随机微分方程和随机脉冲微分方程的研究发展经历。 在脉冲函数是全局Lipschitz的条件下,本文通过对非线性随机脉冲微分方程的解析解的积分形式应用Ho¨lder不等式、Doob鞅不等式、Gronwall不等式和Ito?随机积分的性质,首先在第二章研究了非线性随机脉冲微分方程的解析解是均方有界的,同时也是上确界均方有界的。其次在第三章中分别建立了非线性随机脉冲微分方程的Euler-Maruyama方法与半隐式Euler方法的数值格式,通过证明上述两个方法的离散时间的数值解与连续时间的数值解均是均方有界的,从而可以证明变步长Euler-Maruyama方法与变步长半隐式Euler方法的数值解在均方意义下的收敛性。 接下来对于线性试验方程,首先研究了其解析解的大范围随机渐近稳定性,其次在此前提下,研究了变步长Euler-Maruyama方法应用于线性试验方程的T-稳定性。 在文章的稳定性分析中进行了相应的数值试验,这些算例一方面验证了理论上结论的正确性;另一方面也形象地展示了数值方法的步长和线性试验方程的系数对稳定性的影响。


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