求解一些奇异微分方程的再生核方法

【摘要】：奇异微分方程出现在各种应用数学和物理学中,如:气体动力学、核物理、化学反应和原子结构的研究。所以,该问题得到了广泛的关注,有很多学者对其进行了研究,尤其对其数值求解方法表现出浓厚的兴趣。一般来说,通常的数值方法得不到这类方程的好的近似解,这就需要去寻求新的求解方法。 本论文主要研究求解奇异微分方程的再生核方法,该方法以再生核理论为基础。再生核方法的主要优势是:对很多难以求解的具有复杂边界条件(周期边界条件、积分边界条件等)的微分方程,可以很容易地放在再生核空间中进行求解。首先构造满足复杂边界条件的再生核空间并求得其再生核,然后利用再生核空间的良好性质和计算技巧来求解满足该边界条件的微分方程。本论文的主要研究成果如下: 首先,研究再生核理论。通过在再生核空间中定义新的内积,得到了新的再生核表达式,它比以往的再生核表达式大大简化,是一种多项式形式的再生核。利用它去解决问题可以减少计算量,防止更多的计算误差的堆积,从而可以提高计算精度。 其次,提出了求解线性奇异两点边值问题的再生核方法,获得了级数形式的精确解,并通过对该级数的截断得到了近似解,给出了误差估计。基于这种求解线性奇异微分方程的再生核方法,构造了两种求解非线性奇异周期边值问题的迭代再生核算法,并证明了其收敛性。 之后,针对传统变分迭代方法的不足,提出了求解非线性奇异初值问题的变分迭代?再生核方法。该方法是将变分迭代与再生核这两种方法巧妙地结合起来。其主要优点是克服了传统的变分迭代方法受非线性项的形式限制的缺陷,提高了传统的变分迭代方法的计算速度。另外,结合同伦扰动方法和再生核方法,设计了求解非线性奇异两点边值问题的同伦扰动?再生核方法。同伦扰动方法基于传统的扰动方法和同伦技术,同伦扰动方法能把一个非线性奇异两点边值问题转化成一组线性奇异两点边值问题,并且在很多情况下能得到快速收敛的级数解。再生核方法作为一种解析求解技术,能很好地求解转化成的线性奇异两点边值问题。同伦扰动?再生核方法结合了这两种方法的优势,能有效地求解非线性奇异两点边值问题。 随后,研究奇异摄动两点边值问题的求解方法。对于二阶线性奇异摄动两点边值问题,提出了一种有效的求解方法,该方法的主要步骤是:(1)通过一个连接点把原问题分解成边界层区域和外部区域两个问题;(2)确定连接点的渐近内部条件;(3)分别求解边界层区域和外部区域问题。对于三阶线性奇异摄动两点边值问题和二阶非线性奇异摄动两点边值问题,基于渐进展开和再生核方法,设计了求解该问题的有效方法。 最后,提出了求解一类二阶线性奇异三点边值问题的再生核方法。首先把该问题转化成再生核方法易于求解的等价的积分?微分方程,然后用再生核方法对其进行求解。对于非线性的情况,提供了三种处理方法:拟线性化技术、迭代再生核方法和同伦扰动?再生核方法。 再生核理论在曲线拟合、函数估计、模型描述、概率与统计方面有重要的应用。基于再生核理论,本论文提出了一些求解奇异微分方程,如:奇异两点边值问题,二阶、三阶奇异摄动两点边值问题,二阶非线性奇异周期边值问题和奇异三点边值问题的解析技术。用本论文的方法获得的解具有自身的优点,相比于其它的数值方法,如:龙格库塔法、线性多步法,再生核方法的主要特征是:建立了整个求解区间的解的整体近似,且该近似解一致收敛;能进一步对近似解的导数的特性进行研究。