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几类微分方程数值解的全局性质

杨占文  
【摘要】:本文讨论了自变量分段连续型微分方程(EPCA),比例方程,单种群模型和一类非线性延迟微分方程的数值解的全局性质。这些类型的方程在许多领域有着广泛的应用,并且数值解全局性质的分析具有重要的理论价值和实践意义。 本文详细地叙述了EPCA、比例方程、单种群模型和非线性延迟微分方程的应用背景和研究历史,回顾了这些微分方程解析解和数值解的一些全局性质的研究状况。 给出了EPCA的Runge-Kutta方法,讨论了Runge-Kutta方法的稳定性,并给出了解析解的稳定区域包含在数值解的稳定区域内的条件。 利用Razumikhin技巧讨论了比例方程解析解的渐近稳定性和定步长方法的数值解的渐近稳定性。特别地,考虑了线性常系数和线性变系数比例方程,得到了这些方程解析解的稳定条件和定步长θ-方法的数值解的稳定条件,并证明了Jackiewicz的猜想的充分性。 构造了改进Runge-Kutta方法,并证明了改进的方法可以保持原方法的收敛阶。给出了改进Runge-Kutta方法对于比例试验方程是渐近稳定的充分必要条件。特别地,改进了θ-方法、Gauss-Legendre方法和Lobatto IIIA、IIIB方法应用于比例试验方程的渐近稳定性。 考虑了单种群模型的指数型Runge-Kutta方法的全局稳定性,并证明了该方法保持原方法的收敛阶。给出了解析解不变集是数值解的正不变集的条件。证明了隐式Euler方法和2-级、2阶Af(0)-稳定的方法是全局渐近稳定的,并且这些方法的数值解单调趋于稳定的平衡点。讨论了一些Runge-Kutta方法应用于带有延迟项的单种群模型的全局渐近稳定性。最后,利用Newton方法给出了隐式Runge-Kutta方法的解。 讨论了Lawson数值方法应用于一类延迟微分方程的振动性。给出了非线性延迟微分方程Lawson数值方法,并证明了这些方法的收敛阶。分别给出了Lawson数值方法保持和判定线性延迟微分方程和一类特殊的非线性延迟微分方程解析解振动性的条件。讨论了Lawsonθ-方法保持非线性延迟微分方程振动性的条件。 另外,在文中的每一部分的最后都通过实际算例验证了算法的可行性和理论推导的正确性。


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