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延迟微分系统的Hopf分支及其数值分析

王秋宝  
【摘要】:本文主要研究延迟微分系统的平衡点的稳定性、Hopf分支和T-B奇性,以及数值方法应用到原系统所产生的数值离散系统的有关性质。 虽然延迟微分方程在自然科学和工程等各个领域有着广泛的应用,但是由于很多延迟微分方程不能够显式求解,所以数值计算成为了研究延迟微分方程有关动力学性质的重要方法之一。在数值计算方面,令人感兴趣的是相应的数值离散系统是否能够保持原系统固有的动力学行为。 研究一类d维的含参数的延迟微分系统。应用严格零稳定的线性多步法将其离散化,得到相应的数值离散系统。证明如果原系统存在Hopf分支,那么相应的数值离散系统存在数值Hopf分支,而且分支方向和不变曲线的稳定性分别与原系统的分支方向和周期解的稳定性是相同的。最后,给出一些数值试验。 研究含有两个延迟量的捕食-被捕食模型。把Runge-Kutta方法应用到原系统得到相应的数值离散系统。讨论正平衡点的稳定性及其数值Hopf分支,进一步研究分支方向和所产生的不变曲线的稳定性。最后同样给出一些数值模拟用以支持理论分析的结论。 研究带有两个延迟量的双神经元的神经网络系统。讨论其平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性,并且给出平衡点稳定和不稳定的充分条件,以及存在Hopf分支的充分条件。最后通过一些数值例子来支持结论。 研究含有多延迟的二阶微分方程。讨论其平衡点的稳定性,给出平衡点稳定,不稳定以及Hopf分支存在的充分条件。最后,讨论一个具体方程的T-B奇性,以及把显式欧拉方法应用到此系统得到的数值离散系统的有关性质。


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