某些延迟微分方程数值方法的分支相容性

【摘要】：近几十年来,延迟微分方程已经被广泛地应用到近代物理学、生物学、医学、经济学、人口学、化学反应工程学、自动控制理论等众多科学领域。对这类方程,由于只有少数特殊的方程可以显式求解,因此发展适用的数值方法是必要的。然而,能够正确反映原系统性质的数值方法才具有应用价值,所以研究数值方法能否保持原系统的动力学行为在理论上和应用上都具有十分重要的意义。 本论文分别对几类延迟微分方程,研究了某些数值方法的分支相容性,即方法能否保持原方程分支的性质。 首先,本文应用差分方法求解一类具有负反馈的二阶延迟微分方程,并研究了其数值离散系统的动力学行为。通过分析随着参数的变化,特征根的变化情况,再应用Neimark-Sacker分支定理,本文给出了Neimark-Sacker分支存在的充分条件。利用规范形理论和中心流形定理,我们计算了确定分支方向及闭的不变曲线稳定性的显式公式。通过比较数值离散系统和原系统的分支性质,结果说明了差分方法关于这类二阶延迟微分方程是分支相容的。 其次,针对M.C. Mackey和L. Glass提出的用于描述血循环中粒细胞密度的延迟微分方程,本文考虑了非标准有限差分方法的分支相容性。应用上面类似的方法,我们分析了其数值离散系统正不动点的稳定性,给出了Neimark-Sacker分支存在的充分条件,得到了判断分支方向和闭的不变曲线稳定性的显式表达式。 再次,本文应用中点公式求解一个描述动脉中二氧化碳浓度的延迟微分系统。我们分析了得到的数值离散系统正不动点的稳定性,给出了它经历Neimark-Sacker分支的条件,计算了确定分支方向和闭的不变曲线稳定性的显式表达式。得到的结论与原系统的分支性质比较表明,对于此方程中点公式是分支相容的。 最后,本文研究了一类Runge-Kutta方法对于一类具有一般形式的延迟微分方程的分支相容性。应用隐函数定理,我们证明了如果原方程具有Hopf分支,那么这类Runge-Kutta方法对于该方程是分支相容的,并且如果方法是p阶的,那么Neimark-Sacker分支点收敛于Hopf分支点的收敛阶数也是p。为了验证上述理论结论的正确性,我们应用2级Gauss方法求解延迟Logistic方程,计算得到了Neimark-Sacker分支点收敛于Hopf分支点的阶数是4。 此外,在每章的理论证明之后,我们都进行了相应的数值算例。它们表明了理论结果的正确性。