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微分方程与微分包含的神经优化理论与算法研究

边伟  
【摘要】:优化问题大量存在于科学和工程应用的许多领域,其中,许多优化问题要求对其进行实时求解。解决实时优化问题一个非常有前途的方法是应用基于电路实现的人工神经网络。基于微分包含,Lyapunov方法,矩阵分析,非光滑分析及变分理论,本文研究了四大类优化问题,分别构造了相应的神经网络,证明了网络解的全局存在唯一性及网络的稳定性,收敛性和精确性,并通过数值算例说明了网络的有效性。所得主要结果如下: 1.研究了R~n中两类重要的退化二次优化问题。首先,基于Lagrange函数方法,设计可有效求解带有一般线性约束退化二次凸最小值点问题的神经网络。此网络具有一些很好的性质,如完全稳定和有限时间收敛。在收敛速率方面,该网络的输出轨道关于矩阵Q的非奇异部分是指数收敛的。同时,给出了一个判断目标函数在约束集上的最小值是否为其在R~n上最小值的准则。其次,通过巧妙的分析和变换,把带有混合线性约束的退化二次鞍点问题转变成一个与之等价的退化二次最小值点问题。基于前一部分的理论和方法,构造了一个可有效求解此类鞍点问题的投影神经网络。并给出了网络的完全稳定,有限时间收敛和指数收敛的证明。另外,设计了一个更为简单的网络求解全局退化二次凸鞍点问题。 2.研究了R~n中两类重要的非光滑凸优化问题。首先,基于精确的罚函数方法,构造一个微分包含形式的神经网络求解一类不仅带有仿射等式约束而且带有(非光滑)不等式约束的非光滑凸最小值点问题。通过对两个参数的分别控制,证出该网络的轨道有限时间进入可行域并永驻其中。然后,应用反正法,证出该网络的轨道最终收敛于其平衡点集,同时,我们还给出了一个使网络轨道有限时间收敛于其平衡点集的条件。网络的精确性证明更进一步地说明了所构造网络的优越性。其次,构造了一个微分包含形式的神经网络求解一类带有混合约束的非光滑凸鞍点问题。基于前一部分工作的理论及方法,证明了此网络解的全局存在唯一性,收敛性和精确性。 3.研究了R~n中两类重要的非光滑非凸优化问题。首先,基于罚函数方法,构造一个仅带有一个参数的网络求解一类既带有仿射等式约束又带有(非光滑)凸不等式约束的非光滑非凸最小值点问题。通过对可行域和参数施加适当的控制,给出了网络解的全局存在性。利用引入弱-单边Lipschitz条件,证明解具有唯一性。通过对参数的控制,使网络的轨道有限时间进入可行域并永驻其中。同时,我们也证出了网络的最终收敛性与精确性。为了提高网络的可行性,给出了使此网络的解恰为其slow解的几个条件。如没有这些结论,则该网络无法在电路,MATLAB或其它数学软件中顺利运行。其次,构造了一个微分包含形式的神经网络求解一类带有混合约束的光滑非凸鞍点问题,不仅给出了网络的收敛性和精确性证明,而且给出了它的一个几何表达。 前面三部分所得到的理论与算法,我们都分别通过算例说明了算法的具体实现过程及其算法的有效性。 4.研究了Hilbert空间中一类非光滑凸优化问题。构造一个微分包含形式的神经网络求解Hilbert空间中一类带有一系列(非光滑)不等式约束的非光滑凸最小值点问题,在目标函数,可行域及罚参数满足适当的条件时,给出了此网络解的全局存在唯一性,可行域的有限时间到达与不变性和网络的精确性证明。同时给出了网络的一些收敛性结论,特别地,在目标函数的次微分满足强单调条件或优化问题优化解集内部非空的情况下,得到网络的轨道在强拓扑意义下收敛于该优化问题的一个优化解。最后,给出了所构造网络的一个渐进控制结论。


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