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Gyrator变换定义的多样性及数学物理性质

马金鹏  
【摘要】: 傅里叶变换在科学研究与工程技术中都是一个十分重要的工具,是光学信息处理的基础。分数傅里叶变换作为经典傅里叶变换的推广,已经为光学信息处理带来了极大的方便,而且将傅里叶光学推进到了一个崭新的领域。基于分数傅里叶变换的扩展变换是信息光学中一个新兴的重要研究课题,这些变换成为光学信息处理和数字信号分析中全新的工具。Gyrator变换作为一种特殊的分数阶变换,已经在信息光学领域中显示出了重要的应用价值。本论文基于Gyrator变换的积分定义式与数学性质,结合线性正则变换与分数傅里叶变换的相关概念,做了一些基础理论上的研究工作。具体内容概括如下: 提出了Gyrator变换的不同定义形式。首先基于Wigner分布函数定义了Gyrator变换,并解释了Gyrator变换的物理意义,定义Gyrator变换为相空间中在特殊方向任意角度的旋转。其次基于分数傅里叶变换定义了Gyrator变换,Gyrator变换相当于空域和分数频谱域坐标同时旋转π4的分数傅里叶变换。推导了Gyrator变换在极坐标中的解析表达形式。最后分析了Gyrator变换与傅里叶变换的关系,Gyrator变换相当于在空域和频域同时受双曲面位相调制的傅里叶变换。 提出了两种Gyrator变换的快速算法。首先直接使Gyrator变换离散化,得到Gyrator变换的离散形式,利用一次快速傅里叶变换计算Gyrator变换。其次,推导了一般线性正则变换的卷积表达形式,根据傅里叶变换的卷积定理,由快速傅里叶变换实现卷积计算。Gyrator变换作为线性正则变换的特殊形式,代入相应的参数,可以直接得到Gyrator变换的快速计算算法。 将菲涅耳衍射的Talbot效应扩展到线性正则变换域,提出周期结构图像经过线性正则变换变换后会出现自成像现象。菲涅耳衍射与分数傅里叶变换的Talbot效应是其中的特例。由此,直接得到Gyrator变换的Talbot自成像现象。 提出广义Gyrator变换的定义,根据Gyrator变换相当于空域和分数频谱域坐标同时旋转π4的分数傅里叶变换的定义,将旋转角度推广到任意角度,得到广义Gyrator变换。广义Gyrator变换提供了第二个分数阶,是分数傅里叶变换到Gyrator变换的二次分数化过程。 根据Gyrator变换与分数傅里叶变换的不可交换性,提出了一种双图像加密算法,并提出了双图像分存解密的加密形式。将两幅图像分别在分数傅里叶域与Gyrator变换域编码为白噪声图像,再分别经过图像加减运算,使两幅图像耦合,得到两幅加密图像。原始图像信息被分存到加密图像信息中,仅得到其中一幅图像,不能解密。


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