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带逐段常变量微分方程的概周期解及谱分析

王丽  
【摘要】: 丹麦数学家H. Bohr于1925-1926年间建立了概周期函数理论。概周期函数是周期函数的一般化,具有优于周期函数的空间结构。在实际生活当中,概周期现象比周期现象更加普遍。从概周期函数的发展状况来看,概周期函数的推广和概周期型函数在方程方面的应用成为主要的研究方向,其中,概周期型函数在方程方面的应用主要体现在讨论方程的概周期型解的存在性、唯一性、稳定性等。 带逐段常变量微分方程是由K. Cooke、J. Wiener、S. Shah等人首先提出并研究的。此类方程结合了微分方程和差分方程的性质,具有连续和离散动力系统的混和形式,在控制理论、生物模型理论及双曲动力系统等方面有重要的应用。基于以上原因,带逐段常变量微分方程的概周期型解的存在性及唯一性问题日益得到人们的关注。 本文研究了两类,即带[·]项和带[·+2 1]项的逐段常变量微分方程的概周期解的存在性、唯一性及谱的性质。主要工作如下: 1.研究了带[·+2 1]项逐段常变量微分方程的概周期弱解及概周期解的存在性。这类方程在特殊条件下的概周期型解的存在性及唯一性已经有了较为详尽的研究。若去掉特殊条件,此类方程的概周期型解的存在情况还没有文献讨论过。本文第一部分研究了不加特殊条件时方程的概周期弱解及解的存在性。作者首先将方程离散化得到差分方程,利用平移算子的性质证明了差分方程的概周期序列解的存在性,然后利用概周期序列解逐段的构造方程的概周期弱解及解,从而证明了不加特殊条件时方程的概周期弱解及解的存在性,除此之外,作者还给出一些例子说明了这些解可能不唯一,同时说明了弱解和解之间的关系。 2.虽然关于带[·+2 1]项逐段常变量微分方程的概周期型解的存在性及唯一性已有很多结论,但是,还没有文献讨论过方程概周期解的谱的性质。本文第二部分工作研究了带[·+2 1]项逐段常变量微分方程概周期解的谱的性质。作者首先给出了方程相应差分方程的概周期序列解的表达式和方程的概周期解的表达式,然后利用近似定理研究了概周期序列解的谱的性质,在此基础上研究了概周期解的谱的性质。 3.证明了带[·]项逐段常变量微分方程概周期解的存在性及唯一性,给出了概周期解的具体的表达式,在此基础上研究了概周期解的谱的性质。关于带[·]项逐段常变量微分方程概周期解的存在性及唯一性,已经有文献研究过,本文的研究方法和该文献的研究方法不同。关于带[·]项逐段常变量微分方程概周期解的谱的性质,虽然也有文献研究过,但是,本文给出了反例说明该文献中得到的结果不正确,并对该文献的结果进行了改正。


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