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变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用

张夏  
【摘要】: 随着自然科学和工程技术中许多非线性问题的不断出现, Sobolev空间表现出了其应用范围的局限性.例如,对一类具有变指数增长性条件的非线性问题的研究.具有变指数增长性条件的非线性问题是一个新兴的研究课题.在对这类非线性问题进行研究时,变指数Lebesgue空间及Sobolev空间发挥着重要的作用. 在本文中,我们主要以变指数Sobolev空间W1,p(x)(?)为背景,研究了一类具变分结构的椭圆型p(x)-Laplace方程(组)及半变分不等式,其中? ? RN.由于指数p(x)为函数, p(x)-Laplace算子较之p-Laplace具有更为复杂的非线性性.例如, p(x)-Laplace算子是非齐次的.这就使得在常指数情形下使用的研究方法对于变指数情形不再适用.在本文中,我们先在较为宽松的增长条件下对能量泛函的性质进行了讨论,然后结合变分的方法研究了此类p(x)-Laplace非线性问题的解. 本文的主要内容如下: 1.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,我们通过求与p(x)-Laplace方程相关的能量泛函φ的全球极小值点,得到了φ的一个非平凡临界点u0∈W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上非平凡弱解的存在性.然后,基于一类对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),进而得到了方程在RN上弱解的多重性.最后,通过上下解的方法,我们在有界域?上得到了方程弱解的一个分支结果. 2.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程组弱解的研究.我们主要基于一类强不定泛函的临界点定理,得到了与方程组相关的能量泛函I的一列能量值趋于无穷的临界点{(un, vn)} ? W01 ,p(x)(?)×W01 ,p(x)(?),进而得到了此方程组Dirichlet边值问题在有界域?上弱解的多重性. 3.对一类具有临界指数的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,推广了Sobolev空间上的一类集中紧致性原理,我们在变指数Sobolev空间W1,p(x)(RN)上建立了集中紧致性原理.然后基于此集中紧致性原理,并结合对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列径向对称且能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上弱解的多重性. 4.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace半变分不等式的研究.在这部分中,主要基于一类不可微泛函的临界点理论,我们对与半变分问题相关的局部Lipschitz连续泛函φ的临界点进行了研究.进而分别在?为RN的有界及无界域的情况下,证明了此不等式至少有一个非平凡的解u0∈W01 ,p(x)(?). 本文所得的结论是相应的p-Laplace问题结论的推广.另外,从本文结论的证明过程中,我们也可以看出具变指数增长性条件的非线性问题与常指数情况的不同.


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