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一类完全非线性抛物方程及其在图像恢复中的应用

李静  
【摘要】: 本文研究如下带非线性源的完全非线性抛物方程其中m 0, 0≤u_0∈C_0(R~N),Φ(x,s)和Ψ(x,s)是关于x∈RN, s∈[0,∞)的非线性函数.它来源于自然界中许多扩散现象,如无力磁场的阻性扩散、生物种群的生存与竞争、微分几何领域的曲线收缩流、传染病的蔓延、带阻尼的弹性力学和Bellman-Dirichlet型问题等.本文的目的在于研究这类方程解的定性理论及其在图像处理中的应用. 本文第一章是绪论部分. 在本文的第二章,第一部分我们致力于研究Φ(x,u) 0情形Dirichlet问题古典解的局部存在性.通常情况下对m = 0,方程在?u(x,t) = 0的点退化或奇异.据我们所知,目前还几乎没有文章涉及此类问题的古典解,尤其是多维情形.但是事实证明古典解确实是存在的.我们基于拓扑度理论,将问题转化为某种线性化问题的古典可解性,而相应的线性化问题可以通过Rothe方法辅以广义多孔介质方程正则化理论中的技巧求解.另外,解的比较原理对解的性质的研究起着重要的作用,我们基于古典解极值点的时间发展给出了比较原理简单但巧妙的证明.在本章第二部分,我们在第一部分的基础上用正则化方法分别研究了Φ(x,u) = uq的退化情形和奇异情形Cauchy问题连续解的局部存在性.我们从算子本身的特点出发,在泛函框架中给出了正则化问题解的一致Ho¨lder估计,再利用算子的单调性和空间Lp(0,T;B)的紧性,辅以空间区域分解技巧得到正则化问题解的Laplacian的强收敛,最终通过极限过程证明连续解的局部存在性. 在第三章,我们在第一章建立的解的局部存在性和比较原理的基础上研究了Φ(x,u) = uq(q∈R),Ψ(x,u) = up(p 0)情形Cauchy问题解的长时间渐近行为,找到p的两个临界指标:整体存在指标p0和临界爆破指标pc.首先我们研究q≥0情形,由于方程的非散度结构和二阶项的完全非线性性,传统的能量估计方法不再奏效.我们引入非线性局部容度,通过容度估计来研究p q + m情形解的爆破行为.进一步,通过引入上(下)解,我们研究了0 p≤q + m情形解的爆破和整体存在行为以及p pc情形解的整体存在行为.不同于之前关于临界指标p的研究,我们发现还存在q的临界指标: q0 = m.当q m,解的整体存在区间变大,任意非平凡初值爆破的区域退化.接下来我们用同样的方法研究q 0的情形. 作为本文最后一章,我们将完全非线性抛物方程用于图像恢复,弥补了经典TV模型在“坡”问题中的不足.首先我们在半群理论的框架下研究了一类自适应的完全非线性去噪模型证明了该方程Dirichlet问题积分解的适定性.该模型用?u的符号调节图像水平曲线的扩散方向.数值实验验证了这类去噪模型能够有效保护图像的边界和“坡”信息,避免阶梯效应和新细节的产生.接下来我们将完全非线性模型用于“坡”问题的乘性去噪,该模型扩散速度和噪声强度成正比,没有噪声的区域扩散停止,能够针对乘性噪声的特点去噪,并且在去除噪声的同时有效地保持“坡”信息.


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