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非线性微分方程在再生核空间中若干数值算法的研究

李福祥  
【摘要】: 许多自然现象都是借助于线性和非线性方程来描述的,这些方程作为重要的数学模型在物理学、生物学、控制科学等许多研究领域中有着广泛的应用,而对这些现象的分析一般可归结为微分方程的求解问题,由于获得这类方程精确解的解析表达式是非常困难的,所以发展适合的数值方法就成为既有理论意义又有实际价值的研究课题。因此如何求解这些有实际意义的方程也就变得越来越重要。 本文运用再生核空间的技巧,给出了几类非线性微分方程的求解算法。 文中详细地叙述了再生核空间的应用背景和研究历史,回顾了再生核空间的发展状况。并且在文中的每一部分都给出了若干个具体的再生核空间。在所有给出的再生核空间中都有具体的再生核函数的表达式,并且每一章都进行了相应的数值试验。这些数值试验验证了理论上推出的结论的正确性。 首先,通过改进的再生核空间的内积定义,我们简化了某些再生核函数的表达式,这是一种多项式形式的再生核。利用它去解决问题可以大大减少计算量,防止更多的计算误差的累积,从而可以大大地提高计算精度。 其次,在再生核空间中构造了两种大范围收敛的迭代序列,通过截断级数的形式得到了方程的近似解。另外,第二种方法针对方程解存在不唯一的情况下,可以进一步求出满足一定附加条件的特解。这两种迭代法适用于一般的非线性方程,本文运用第一种方法在第二章的Burgers方程和第三章的奇异非线性初值问题进行了求解。运用第二种方法在第四章对广义Burgers方程进行了求解。 最后,在第五章中利用升元手段求解了一阶完全非线性微分方程。主要利用再生核空间中再生核的再生性质,利用升元手段将完全非线性常微分方程转化为线性偏微分方程进行求解。将初始条件齐次化后融入到二维再生核空间中,运用本文的方法可以求得一个带有未知量的解的表达式,然后通过最小二乘法的技巧,最终获得非线性算子方程的近似解。 再生核理论在模型描述、曲线拟合、函数估计、概率与统计方面有重要的应用。基于再生核理论,本论文提出了一些求解非线性微分方程,如:Burgers方程问题,广义Burgers方程问题,完全非线性微分方程问题和奇异非线性初值问题的解析技术。用本论文的方法获得的解具有自身的优点,相比于其它的数值方法,如:龙格库塔法、线性多步法,再生核方法的主要特征是:建立了整个求解区域的解的整体近似,且该近似解一致收敛;能进一步对近似解的导数的特性进行研究。


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