无网格伽辽金法解带控制的微分方程

【摘要】：近些年，出现了一种新的数值计算方法—无网格伽辽金法。它是无网格方法中的一种，但是它的应用最为广泛。它利用移动最小二乘来构造形函数和利用拉格朗日乘子去满足位移边界条件，并且从能量泛函的弱变分形式中得到方程，最后解得数值解。这种方法的优点是：在处理数据过程中，不需要划分单元和部分网格。这样就简化了数据处理，提高了计算速度。本文的具体工作如下： 首先，由于无网格伽辽金法出现不久，它在偏微分方程的应用也不多，发展还不够完善，当选取不同的权函数，不同插值方案和不同的试函数等，都会产生不同的效果，方程的数值解因此可能会存在偏差，所以解的精度就不高。为了得到更好的精度，本文从权函数出发，研究截断高斯函数在无网格伽辽金法中生成一个系数矩阵。本文还针对微分方程，在使用无网格伽辽金法去求解微分方程的逼近解的过程中，从权函数出发，考虑截断高斯函数作为无网格伽辽金法中的权函数，结合移动最小二乘近似法和拉格朗日乘子法，去逼近微分方程的解。 其次，从各种权函数类出发，考虑将两种权函数结合起来，主要研究将样条函数和截断高斯函数结合起来作为新的权函数，利用移动最小二乘近似法生成形函数，还利用拉格朗日乘子法得到新的积分方程，最终得到微分方程的逼近解。 最后，对以上介绍的两种方法分别编制MATLAB程序，实现算法，用具体的数据结果说明本文的方法是有效且实用的。