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对流扩散方程间断Galerkin方法的稳定性分析与负模估计

徐亚男  
【摘要】:间断Galerkin(DG)方法作为一种高分辨率偏微分方程数值解法,因其具有可以达到任意高阶的精度、处理复杂边界问题的灵活性、h-p自适应性以及可证明的L~2稳定性等特点,在数值计算中有着非常广泛的应用。因此,对于间断Galerkin方法的研究有着十分重要的意义。本文主要研究了对流扩散方程间断Galerkin方法的稳定性分析与负模估计。论文首先介绍了间断Galerkin有限元空间的基本性质,并针对热传导方程,证明了二阶显式TVD Runge-Kutta间断Galerkin方法的全离散格式在差商下具有L~2稳定性。然后针对非线性对流扩散方程,利用Taylor展开线性化的方法处理非线性数值通量,证明了当使用迎风型数值通量时,DG误差的α阶差商在L~2范数下可以达到k+3/2-α/2阶收敛精度。并进一步利用对偶论证法,证明了 DG误差的差商在负模下能够达到2k+3/2-α/2阶超收敛精度,证明将后处理理论应用到非线性对流扩散方程中,后处理解至少可以获得3k/2+1阶的超收敛精度,数值实验验证了理论结果的正确性。最后研究了变系数对流扩散方程的负模估计问题,类似于非线性方程的证明思路,证明了 DG误差的差商在L~2范数下可以达到k+1阶精度,进而在负模下可以得到2k+1阶超收敛精度,最终证明了后处理数值解的收敛精度也为2k+1阶,并通过数值实验进一步验证了理论结果。


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