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时标上动力方程边值问题和周期边值问题正解的存在性

张波  
【摘要】:随着现代科学技术的发展,在自然科学与社会科学的许多学科中,人们提出了大量微分方程和差分方程。微分方程经过差分化引出差分方程,微分方程的许多性质经过差分化后保留下来,但是很多例子表明二者之间还有许多不同的性质。时标理论可以把微分和差分两种计算包含和统一起来,这开创了“动力方程的研究”这一新兴研究课题。一方面这是因为时标上的动力方程可以把微分方程和差分方程作为它的特殊情况来处理,从而有助于揭示连续和离散系统的本质,避免类似结果的重复证明;另一方面,R上除了实数集、整数集,还有很多有趣的时标存在。所以,对这一理论的研究有其重要的理论意义和现实意义。另外,时标上的动力方程是一个较新的有着广泛应用前景的应用数学分支。应用上,动力方程有广泛的实际基础,比如在昆虫种群模型、神经网络模型、热传导以及传染病模型中都会提出动力方程。除了生物学上的应用,这种数学工具也已用来改进股票市场的计算模式。 在现有时标理论的基础上,论文对时标上几类动力方程边值问题、周期边值问题正解的存在性进行了研究。 首先,讨论了时标上一类二阶动力方程两点边值问题正解的存在性,利用格林函数和Krasnoselskii不动点原理给出了正解存在的特征值区间。 其次,考虑了时标上两类三阶动力方程三点边值问题正解的存在性,得到了正解存在的充分条件。 最后,研究了时标上一阶非线性带有常数的动力方程周期边值问题正解的存在性。


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