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M/M/1休假排队系统驱动的流排队模型

毛炳蔚  
【摘要】:传统的排队论通常研究的是一个或多个服务台接待来要求获取某种服务的顾客,其模型特征是顾客逐个到达服务台接受某种服务,顾客的到达和离去都是离散事件,这反映了传统排队模型背景的离散本质。随着时代的发展和高新科技的出现,所研究离散系统的状态空间越来越庞大,离散系统的各种特征越来越接近于相应的连续系统,即所谓“流极限”,传统的离散排队模型越来越表现出其局限性和不便性。因此,从20世纪五十年代起,人们开始研究流排队模型。 本文在前人研究的流排队系统的基础上,在模型的驱动排队系统中引入休假策略(包括工作休假策略),主要研究了几类不同流体净输入率结构下休假M/M/1型排队系统驱动的流排队模型,给出了模型的混合型联合分布函数(或其Laplace变换)的解析表达式,由此得到平均库存量公式,并通过大量的数值算例描绘出了系统主要性能指标的变化规律,以此形象地验证了本文所得结论的合理性和正确性。 首先,研究了多重和单重休假的M/M/1/N排队系统驱动的流模型,其流体净输入率结构取决于驱动排队系统中服务员所处的状态。建立了流模型即三维马氏过程的稳态联合分布函数所满足的有限维矩阵微分方程,并借助于一个关键引理利用谱分析的方法求得方程的解析解,最终得到稳态库存量的分布函数及其均值表达式。 其次,研究了经典M/M/1排队系统驱动的流模型,其净输入率结构取决于其驱动排队系统中的顾客数,此时流模型是一个具有混合型状态空间的二维马氏过程。建立了流模型稳态联合分布函数所满足的无穷维微分方程组。正如M/M/1排队系统的稳态队长服从几何分布一样,我们证明了模型联合分布的Laplace变换具有类似的幂函数结构,由此建立了生灭过程驱动的一类流模型的几何解方法。以此为基础,求出了平稳库存量的Laplace-Stieltjes变换(LST)和均值的简洁表达式。 再次,将第三章的模型进行推广,研究了休假M/M/1排队系统驱动的流模型。在流模型的驱动系统——M/M/1排队系统中,引入了两种休假策略:多重休假策略和N-策略多重休假策略。将第三章采用的几何解方法推广到多维的矩阵几何解方法。对于多重休假策略的模型,其净输入率取决于驱动排队系统中的状态。正如M/M/1排队系统导出流模型的稳态联合分布的Laplace变换具有幂函数形式一样,我们证明了模型联合分布的Laplace变换具有类似的矩阵幂函数结构;对于N-策略多重休假策略的模型,其净输入率取决于驱动排队系统中的顾客数。我们证明了模型联合分布的Laplace变换具有某种矩阵幂函数或矩阵连乘积结构。对于这两类模型,我们都求得了平稳库存量的LST和均值的简洁表达式。 最后,采用矩阵几何解方法,进一步研究了多重工作休假的M/M/1排队系统驱动的流模型,其输入率结构同样取决于驱动排队系统中的状态。我们证明了库存量与队长过程状态联合分布的Laplace变换,同样具有某种矩阵几何结构。基于这一事实,我们给出了库存量平稳分布的LST及平均库存量公式。特别的,我们给出模型的两个特例。其一是当休假时间等于零时,模型退化为经典M/M/1排队驱动的流模型;其二则是驱动系统中工作休假期间的服务率为零时,模型退化为多重休假M/M/1排队驱动的流模型,这两个特例模型中的一系列结论与之前得到相应的结论是一致的。 总之,本文对多种休假策略(包括工作休假策略)的M/M/1型排队系统驱动的流模型进行了研究,给出了模型的联合分布函数(或其Laplace变换)的解析表达式,由此得到平均库存量等系统性能指标的简洁表达式。将各种休假策略引入流模型研究,可对流入率和流出率的设计和控制提供更大的灵活性,从而适应更宽泛的应用背景。另外,谱分析方法、几何解方法及矩阵几何解方法等多种方法的综合应用丰富了流模型的研究方法,并为各种M/M/1型休假排队系统驱动的流模型的分析提供了统一的理论框架和处理方法,丰富了流排队领域的研究成果。


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