灰色GM（1,1）模型的优化及其应用

【摘要】：灰色预测是灰色系统理论的主要研究内容之一，其核心模型包括GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型。由于该模型所需样本数据少，计算简便，因此比传统的预测方法更具优越性，已经在国民经济，管理科学和工程技术等众多领域得到了广泛的应用。虽然GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型已经被广泛的应用，但GM(1,1)模型在模拟近似非齐次指数序列时预测效果较差，而灰色Verhulst模型存在初始条件难以确定的问题。 论文针对GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型存在的问题，提出了几类改进的灰色预测模型：针对GM(1,1)模型存在的问题，提出了ANGM(1,1)模型和OANGM(1,1)模型并研究了新模型的性质；针对灰色Verhulst模型初始条件难以确定的问题，提出了优化时间响应函数的灰色Verhulst模型。从而使得新模型有了较好的模拟和预测结果。 首先，从灰色GM(1,1)模型的定义出发，提出了基于非齐次指数序列的ANGM(1,1)模型，使得新模型在模拟和预测非齐次指数序列时能取得较好的效果。 其次，基于矩阵分析对ANGM(1,1)模型的性质进行了研究。通过研究序列的映射变换和数乘变换，得出：对映射变换前后的两数据序列建立ANGM(1,1)模型，所得预测精度相同。并通过实例验证了新模型的性质和预测精度。 再次，分析ANGM(1,1)模型中存在的问题，即原始数据序列中第一个数据的无效性。通过在原始数据的基础之上增添一个新的数据得到新的数据序列，再建立ANGM(1,1)模型，得到IANGM(1,1)模型。通过实例证明了新模型有较高的预测精度和模拟精度。 最后，针对灰色Verhulst模型难以求解初始条件的问题，论文提出了一种优化时间响应函数的新方法。该方法以累加生成序列的倒数与其倒数模拟值的差值平方和最小为目标函数，来求解灰色Verhulst模型时间响应函数中的常数c，并给出了灰色微分方程时间响应式的解析式。实验分析表明：改进模型在预测精度和实用性上均有较大改善。