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重调和方程的变分不等式和边界元法的研究

崔玉环  
【摘要】: 弹性平板的摩擦问题是力学中最常见的问题之一。它的求解是建立一个四阶变分不等式的数学模型,这类问题的关键和难点是建立其变分泛函和求解方法。近几年来发展起来的变分不等式方法为摩擦问题的求解提供了统一的框架和有力的工具。变分不等式的数值解法主要有有限元法和边界元法,二者各有利弊。而对于求解边界变分不等式和四阶椭圆型方程边值问题时,使用边界元法比有限元法更具有优越性,原因在于利用边界元法进行求解能够达到降维、计算量少的效果。 论文共分5章。第一章主要概述了边界元法、变分不等式和边界元法求解重调和方程的现状,着重介绍了目前国内外学者的研究动态。 第二章针对所研究的第二类四阶变分不等式及重调和方程边值问题对未知函数的要求,建立了Sobolev空间框架,并介绍了在这样的空间中建立的一整套理论,如:广义解,广义函数,广义(弱)导数,迹定理和Brezzi理论,等价模定理等。 第三章给出了弹性平板摩擦问题的第二类四阶变分不等式及其相应的重调和方程边值问题的等价性的证明。并对该类变分不等式中的不可微项采用了正则化处理。 第四章采用了边界元法和多重互易法相结合的方法求解重调和方程边值问题,通过求解边界变分方程得到了重调和方程边值问题的近似解。并且通过数值算例说明了该方法具有收敛速度快,计算精度高的特点。 第五章给出了重调和方程近似解与精确解的边界元法的收敛性分析。


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