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二维非均匀各向异性介质中弹性波动问题的有限元方法研究

罗旭生  
【摘要】:自然界中的绝大多数介质都是非均匀各向异性的,对于非均匀各向异性介质的研究主要方法还是运用数值解法。地震波场的模拟对于石油勘探、房屋建筑设计、抗震减灾都有着非常重要的意义,目前地震波动方程的求解方法主要有数值解法和解析解法两大类,对于相对复杂的地质模型的求解主要运用的是数值解法。对于地震波动方程的数值求解方法主要有:傅立叶伪普法、有限差分法、反射率法、有限元法等。每一种方法都有各自的优缺点,本文是采用有限元方法对弹性波动方程进行模拟求解。有限元法的主要优点是能很好的模拟任意实际地形和地质,根据实际地形设置不同的边界条件,将模型划分为三角形或者四边形可以很好的逼近实际地形情况,从而满足其对复杂地形模拟的真实性。针对传统的有限元方法的缺点:对计算机性能要求比较高,特别是计算机内存以及CPU的计算速度,计算量非常大。针对这些缺点,我们采用高阶等参单元,以及拆散求解单元矩阵,从而提高计算效率。本文的主要内容有:(1)基于弹性动力学理论运用变分法建立非均匀各向异性介质弹性波动方程,并推导了有限元形式的非均匀各向异性介质弹性波动方程,得到对应的单元质量矩阵、单元刚度矩阵、单元阻尼矩阵的一般形式。(2)采用四边形等参单元和双线性插值函数,推导出非均匀各向异性介质波动有限元方程,给出等参单元材料参数等参化处理的差值形式。使计算模型最大限度接近实际模型,满足工程计算需求,同时提高了计算速度。(3)给出各参数满足有限元法求解波动方程的稳定性条件。(4)运用MATLAB编写程序,给出相应的非均匀各向异性介质的算例,并对其进行分析,退化后与解析解进行对比,验证了本论文程序的正确性。材料参数采用等参单元形函数形式的插值函数处理,提高了计算的精度,以及编写的程序在满足精度需求的情况下具有计算速度快,对电脑内存要求较低的优点。


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