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非均质波动问题的等效关系与求解方法研究

王耀  
【摘要】:随着复合材料技术的不断进步,近年来非均匀介质波动问题已成为科学与工程领域中的研究热点之一。由于相关问题求解技术的提高,特别是计算机运算能力的不断增强,使得求解各类复杂的、大规模的问题成为了可能。非均匀介质波动问题的控制方程是变系数的波动方程,与均匀介质波动问题的常系数方程是不同的。故对于非均匀介质波动问题,许多传统的理论和方法已难以适用,需要对其改进或重新建立新的模型、理论和分析方法。因此,关于非均匀介质波动问题新的模型、理论和分析方法的研究对这一领域的发展是有重要意义的。本文以非均匀介质波动问题研究为背景,兼顾了解析方法与数值理论方面的研究。文中对于波动问题的等效转化关系、一维变系数波动方程的变换解法和辐射边界条件、波场的数值变换方法以及非均匀介质波动问题的吸收边界条件进行了研究。基于数学模型等效的概念,本文给出了对称问题中轴对称问题中的柱面波、球对称问题中的球面波和一维介质中的平面波之间的等效转化关系,以及非对称问题中正交各向异性非均匀介质中的平面波与各向同性任意非均匀介质中的柱面波问题的等效转化关系,并且从控制方程和能量两个角度阐述了等效转化关系的物理本质。本文基于方程变换解法推导了从一维变系数波动方程到常系数波动方程、从一维变波速波动方程到常波速波动方程的变换求解格式;通过分离变量法可将正交各向异性非均匀介质(包括各向同性非均匀介质)SH波问题的求解转变为求解两个一维变系数波动方程,文中给出了其适用条件。一维波动方程的辐射条件与一维波动问题的动力学条件在数学模型上可等效。据此,本文提出了一维变系数波动方程变换关系的一种新的求解思路,并且给出了一维变系数波动方程的辐射条件以及相应的动力学条件,同时建立了变系数波动方程解答的一般形式以及具体实现过程。基于有限元方程的空间变换形式不变性,本文提出了实现波场变换的数值方法。通过动态非均匀有限元法(DIFEM,dynamic inhomogeneous finite element method),建立了波动问题数值变换的基本理论框架和实现路径,并基于线性三角形单元和双线性四边形单元分别给出了基于有限元系统尺度、有限单元尺度以及稳态条件下变换介质材料参数分布的DIFEM计算格式。利用文中给出的一维变系数波动方程辐射条件,本文建立了非均匀介质波动问题的吸收边界条件。基于中心差分格式,构造了一维非均匀介质波动问题、可分离变量的二维非均匀介质SH波问题以及二维任意非均匀介质SH波问题中有限差分(FDM,finite difference method)形式的吸收边界条件。


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