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两类微分方程高精度有限差分解法研究

曹壮  
【摘要】:在解决实际工程问题时,常常会涉及到微分方程定解问题的求解,但微分方程定解问题很难得到解析解,所以数值求解微分方程定解问题对工程实践问题的解决有着至关重要的地位。在很多经典的数值解法中,高精度紧致守恒有限差分法的应用较为广泛,是近年来的研究热点。本文利用有限差分方法针对两类非线性偏微分方程初边值问题进行了系统的研究。首先,本文对于偏微分方程数值解法的研究背景和意义给予了简要的概述,并简要叙述了高精度有限差分方法的研究现状。随后介绍了所研究的两类非线性偏微分方程的研究现状以及本文的创新工作。其次,针对一维非线性Rosenau-KDV-RLW方程构造了一个高精度守恒紧差分格式。并结合能量分析方法分别证明了差分格式具有能量守恒性,质量守恒性,数值解的存在唯一性,数值格式的无条件稳定性与收敛性,其收敛阶在L~∞-范数下意义为O(τ~2+h~4),通过数值实验证明了数值理论的可靠性和有效性。最后,针对二维非线性Schrodinger方程提出了一个高精度紧差分格式,结合能量分析方法给出了数值解的能量守恒,质量守恒,数值解的存在性,并证明了差分格式的稳定性和收敛性,其收敛阶在L2-范数下为O(τ~2+h_x~4+h_y~4),并进行了数值实验,通过数值实验证明了数值理论的可靠性和有效性。


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