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应用Lagrange乘子法推导弹性动力学的变分原理

樊涛  
【摘要】:变分原理在数学物理问题中有着广泛的应用,在很多科技领域中都是一种强有力的工具,它在固体力学领域中,更是运用得卓有成效。Lagrange乘子法应用于变分学中已经有百余年的历史了,研究表明,Lagrange乘子法有两种程式:一种是Lagrange乘子参加变分的程式,一种是Lagrange乘子不参加变分的程式。Lagrange乘子参加变分的程式有两个作用,一个作用是放松约束条件对可变函数的变分的限制,另一个作用是将原泛函的约束条件转化为新泛函的驻值条件;Lagrange乘子不参加变分的程式,只能放松约束条件对可变函数的变分的限制,而不能将泛函的约束条件化为泛函的驻值条件。 应用Lagrange乘子不参加变分的程式推导了弹性动力学Hamilton原理和余Hamilton原理的几种不同形式泛函的驻值条件,应用Lagrange乘子参加变分的程式推导了弹性动力学中的有附加条件和无附加条件的两类变量的广义变分原理,进而推导了弹性动力学中的三类变量的广义变分原理。 比较了变分学中的Lagrange乘子法与代入法,说明二者在消除约束和放松约束方面具有相同的作用。 作为算例,应用Hamilton原理推导板的横向振动方程;并且应用有限元法计算了一简支梁跨中承受动荷载时梁中点的动位移。


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