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基于Lancaster结构的二阶系统解耦算法研究及其应用

王淑娟  
【摘要】: 二阶微分系统广泛地产生于控制系统等应用领域中,在一定条件下,许多高阶系统往往也可以简化成二阶系统,因此,深入研究和分析二阶系统的特性具有重要的意义。在对二阶系统进行特性分析时,往往需要对系统进行解耦研究,二阶系统解耦是指通过选取适当的坐标变换等手段将一个多变量相互关联的二阶系统转化为多个独立的单变量二阶系统,解除各个变量之间的耦合关系。本文深入研究基于Lancaster结构的二阶系统解耦算法,并利用舰船纵摇-升沉运动系统实例验证所提出的算法的适用性,主要工作可以概括如下。 1.提出基于Sylvester方程的二阶系统解耦变换求解算法。作为数值代数领域前沿的研究方向之一,保结构同谱流算法通过保Lancaster结构、保谱变换对二阶系统进行简化解耦,但此方法只能给出解耦系统,却无法给出相应的解耦变换。针对此问题,本文首先提出基于Sylvester方程的二阶系统解耦变换求解算法,将寻找解耦变换的非线性问题转化为齐次Sylvester方程的求解问题,并利用矩阵的Kronecker积理论将其进一步转化为齐次线性方程组的求解问题。其次,对非奇异解耦变换的存在性进行了研究与论证。最后,提出基于相似变换的保结构流方法,并将其应用于无外力作用的二阶系统解耦中。文中分别给出数值实验进行方法的验证。 2.提出基于谱信息的二阶系统解耦方法。保结构同谱流算法是否可行,关键就要看解耦前后系统是否保谱,虽然算法设计时考虑了此问题,但在具体实现时,保谱并不容易做到。针对此问题,本文提出了基于谱信息的二阶系统解耦方法。首先,根据系统解耦前后的同谱特征,构造等价解耦系统的参数矩阵,保证了解耦前后系统同谱。其次,利用基于Sylvester方程的二阶系统解耦变换求解方法求得相应的解耦变换。最后,针对无外力作用系统,提出了相应的相似解耦变换的求解方法。文中分别给出数值实验进行方法的验证。 3.对二阶系统解耦变换的结构特征进行研究。对于二阶系统的解耦问题,如何刻画解耦变换的结构特征一直是个难点,目前,虽然已从理论上证明几乎对所有的二阶系统在Lancaster结构下都存在解耦变换,但却很难刻画此解耦的结构特征。本文通过分块矩阵运算,提出解耦变换的一个结构特征,并深入研究了对角形式解耦变换和三角形式解耦变换存在的条件,提出相应定理、证明及实现方法。 4.对40组水池实验获得的舰船纵摇-升沉运动系统数据进行仿真计算,通过对实际系统进行解耦验证本文所提出的算法的适用性。首先,利用保结构同谱流算法和基于Sylvester方程的解耦变换求解算法对舰船纵摇-升沉运动系统进行解耦,得到8组理想数值结果,并对数值实验中存在的问题进行分析。其次,利用基于谱信息的二阶系统解耦方法对舰船纵摇-升沉运动系统进行解耦,得到其余32组理想数值结果。这部分研究既验证了本文提出算法的可行性和适用性,也对两种解耦方法进行了比较分析,将舰船纵摇-升沉耦合运动系统转化为两个无关的单自由度二阶系统,实现了解耦。 本文的研究不仅是二阶系统解耦理论研究的一个完善与发展,也是其在实际系统中应用的一个起点。


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