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求解一类反应扩散方程的再生核方法

王艳石  
【摘要】:微分方程的形成与发展与天文学、物理学以及其他科学的发展密切相关。在弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究中有着广泛的应用。同时,随着大量边缘科学如电磁流体力学、化学动力学、动力气象学、海洋动力学等的产生和发展,也随之涌现了大量新型的微分方程。随着科技的迅猛发展,非线性问题作为数学科学的重要研究课题之一,在控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域有着越来越重要的应用。 非线性扩散方程作为一类重要的偏微分方程,来源于自然界中广泛的扩散现象、渗流理论、生物化学等领域,也用来描述工程学等问题,其应用十分广泛。但众所周知,在很多情况下,非线性方程的精确解是很难求出的,因此如何求具有高精度的近似解具有深远的现实意义和实用价值。 本文运用再生核Hilbert空间数值分析理论和技巧,求解了一类非线性反应扩散方程。 首先,在阐述全连续函数与绝对连续函数的关系的基础之上,构造了再生核Hilbert空间W(m,n)(D),定义了内积和范数,并给出了相关重要定理的证明。通过研究发现,在空间W(m,n)(D)中,可分离函数在内积和范数的意义下具有良好的性质。 其次,在理论研究的基础之上,根据模型中所给出的初边值条件,重新定义并构造了再生核Hilbert空间W[D],通过构造有界线性算子将非线性扩散方程转化为等价算子方程,将再生核空间W[D]分解成两个互为补空间的直和形式,分别构造两个子空间的标准正交基,从而构造了再生核Hilbert空间W[D]的标准正交基,得到了精确解的级数表达式。 最后,通过寻找最小范数解的方法求解了非线性扩散方程的近似解的表达式,通过对近似解进行修正,进一步提高了近似解的计算精度。同时给出了近似解和精确解的误差比较,数据显示本文算法具有高精确度。由给出的近似解和精确解的叠合图形更直观的验证了算法的精确性和有效性。


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