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布尔函数的密码学性质及构造

彭杰  
【摘要】:本文对布尔函数的一些密码学性质进行了研究.主要考虑了具有高代数免疫度的布尔函数以及对称相关免疫布尔函数的构造问题.并考察了所构造布尔函数的-些其他的密码学性质,如平衡性,代数次数及非线性度等. 布尔函数在许多密码体制中具有举足轻重的地位.其密码学性质的好坏直接决定着系统的安全性.本文利用代数学和组合数学的知识,在前人的工作基础上提出了多种构造具有好的密码学性质的布尔函数的新方法.通过这些方法,我们构造了多类具有最高代数免疫度的布尔函数,并且最终解决了构造所有具有最高代数免疫度的偶元对称布尔函数的问题.另外,我们还构造了几类对称非回文相关免疫布尔函数,并考察了对称相关免疫布尔函数的代数免疫性质. 下面简要介绍一下本文的结构安排以及各章节的主要内容. 第一章是绪论,包括前言和基础知识介绍.在前言部分我们主要介绍了问题的背景,目前的研究进展以及本文的主要工作,以期读者对这类问题能有一个大致的了解.基础知识部分主要介绍了布尔函数研究中的一些基本概念,基本方法以及要用到的一些基本工具,为后续部分的展开作好铺垫. 第二章考察具有最高代数免疫度的布尔函数的构造问题.我们推广了构造主函数的方法,找到了一大类具有最高代数免疫度的布尔函数.我们还考虑了这类布尔函数的计数以及它们的代数次数. 第三章主要考察具有最高代数免疫度的旋转对称布尔函数的构造问题.我们将奇元旋转对称函数的构造问题转化成对一个二项式系数和式的奇偶性判定问题和一个构造二元域上可逆循环矩阵的问题.并由此构造了几类具有最高代数免疫度的旋转对称布尔函数.从而推广了已有的构造方法. 第四章构造了对称布尔函数的几类非常重要的低次零化子,并找出了它们函数值的分布特征,从而构造了所有具有最高代数免疫度的偶元对称布尔函数.我们还考虑了这些函数的代数次数及非线性度.此外,通过类似的方法,我们研究了具有较高代数免疫度的偶元对称布尔函数,得到了偶元对称布尔函数达到较高代数免疫度的一些必要条件,并对具有次高代数免疫度的偶元对称布尔函数作了重点研究. 第五章主要考察对称非回文相关免疫布尔函数的构造.对n=6r,6r+1,6r+2,6r+3的情形,分别给出了几类这样的布尔函数.从而证明了此类函数的存在性.并利用第四章的结论,证明了一大类对称相关免疫布尔函数,即对称回文布尔函数的代数免疫度都不高.


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