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倒向随机偏微分方程及其应用

杜恺  
【摘要】:本文研究半线性倒向随机偏微分方程的解的存在唯一性和正则性,重点讨论方程的Cauchy问题和超抛物型条件下的Dirichlet边值问题. 前两章是准备工作.第三章证明全空间上的超抛物型倒向随机偏微分方程的Hm解的存在唯一性. 第四章证明C2区域上的超抛物型倒向随机偏微分方程Dirichlet问题的强解的存在唯一性,并研究线性方程解的正则性.证明借用了偏微分方程研究中的分解和展平技术,以及参数延拓法.作为应用,证明了推广的Ito公式和弱解的比较定理. 第五章讨论全空间上的退化抛物型倒向随机偏微分方程,证明线性方程的弱解的存在唯一性,建立解关于空间变量的Wm,p估计(p≥2);在Lipschitz条件下证明半线性方程弱解的存在唯一性,并讨论解的正则性. 第六章首次研究有界区域上的二次增长型倒向随机偏微分方程.在比较一般的条件下,证明了弱解的存在性和唯一性. 最后,第七章给出了三个简单例子是说明上述结果的应用:非Markov过程的首次跃出时,随机型Feynman-Kac公式和退化型部分观测最优控制问题的Pontryagin最大值原理.


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