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基本解方法在板壳振动相关问题中的研究和应用

顾智杰  
【摘要】:在板壳体振动模型研究领域,主要有两大类问题,模型的建立和模型的计算。这是一篇关于板壳体振动模型计算方法的博士论文。近十年来,板壳计算是一个热门研究领域,涌现出很多的数值算法。我们主要是基于板壳体的控制方程,从基本解出发来计算薄板壳体的相关问题。本文主要涉及两类问题,一是板壳体初边值问题,二是反源问题。所谓的初边值问题,就是已知源项和初边值条件,求解方程组的问题;所谓的反源问题,就是从初边值条件和一些额外定解条件出发,来反演源项的问题。文章指出,基本解方法是求解反源问题最好的方法之一。 本文主要分为六个章节。 第一章是引言,主要介绍了弹性板壳体的研究历史和研究现状,并且重点描述了弹性板壳体的若干热门方法,也对基本解方法在各类方程求解计算问题的现状给予一些概况性的说明。 第二章的研究对象是静态薄板,其控制方程可以由双调和方程来表示。本章首先建立了薄板弹性模型,给予双调和方程唯一性和稳定性分析,并推导出双调和方程基本解的表达式。在求解正问题的过程中,我们把求解双调和方程边值问题分解为一个求解有源双调和方程的特解问题和一个求解无源双调和方程的边界值问题,并从基本解思想出发,给予了解答。这一思想方法可以很容易的推广到反边界值问题的求解中。对于双调和方程反源问题,我们通过反例得到了反源解不稳定的结论,这一观点在数值算例中也有所体现。 第三章的研究对象是动态薄板。同样地,我们得到了其控制方程的唯一性和稳定性结论,并分别推导出其基本解的表达式和无源方程的基函数形式。与双调和方程求解过程相类似的,其正问题的求解也可以分解为一个有源问题和一个无源问题的叠加。在源项可以时空分离的情况下,我们给出了其反源问题的一般定义,即在已知源项施加模式的情况下,求解源项的大小。在分析清楚其反源解的稳定性后,我们最终得到了在一般振动模式下,利用基本解方法求解源项的计算方法,并取得了很好的数值结果。 在第四章中,我们首先分别介绍了有限差分法、局部无网格Petrov-Galerkin方法以及一类特殊边界的解析解法这三类数值算法。特别的,我们对比了前两种方法和基本解方法在薄板正问题求解过程的优劣势,同时也指出在反问题的求解中,基本解方法具有独到的优势。 在第五章中,我们把基本解方法推广到壳体领域。鉴于描述壳体的绝大部分的模型的控制方程不存在显式基本解,为了继续沿用基本解方法的优势,我们利用控制方程主副部分离的方式,证明了当壳体的曲率半径足够大时,利用迭代法,能够把求解壳体方程的问题化归为求解多个主部方程的问题,即板振动方程问题。我们针对圆柱壳,给出求解方法和数值算例。这一通过迭代法把复杂方程化归为简单方程的思想在很大程度上可以进一步推广到其他的板壳体模型中。数值结果也表明这一方法具有很高的价值。我们随后还探讨了求解壳体反源问题的一种近似方法,该方法在主部占优问题中效果显著。 第六章是结语,我们给出了基本解方法在板壳体研究领域的研究前景和进一步推广,提出了未来值得研究的方向。


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