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液晶动力学方程数学研究

刘兰明  
【摘要】:本文将研究Ericksen-Lesile液晶动力学方程组适定性问题.通过实验知,Ericksen-Lesile动力学方程组能很好地描述液晶运动,在数学上,它由Navier-Stokes方程组与描述液晶方向指向矢的调和热流方程组耦合而成.像流体运动的基本特征一样,液晶方程分为可压缩和不可压缩两种类型.一般对Ericksen-Lesile模型的处理分为两种,一种是Ginzburg-Landau多项式逼近模型,另一种是非Ginzburg-Landau逼近模型,它的特点是描述液晶指向矢的角动量方程类似于调和热流. 下面简要说明本文的安排、主要内容、数学困难和主要贡献. 第一章绪论,总结了Ericksen-Lesile液晶动力学方程组各种简化版的模型,由此简要回顾了前人的工作,列出本文的主要结果及证明思路,同时指出克服的困难及本文工作的创新之处. 第二章准备知识,简要列举了一些必要的基本知识,包括常用不等式和定理. 第三章,研究了可压缩液晶动力学方程组适定性方面的问题.对于Ginzburg-Landau逼近模型,最近刘宪高等在文[71,107]中得到了全局弱解的存在性和长时间渐近分析.对非Ginzburg-Landau逼近模型,弱解的整体存在性至今仍未解决.本章首先对Ginzburg-Landau逼近模型的强解进行研究,得到了此模型方程组存在局部强解和小初值整体强解.这里允许密度含有真空,此时动量方程是一个退化抛物-椭圆型方程,所以我们首先正规化初始密度,然后通过伸缩变换观察速度和液晶指向矢的维数,建立起两个变量的线性化迭代格式和先验估计,最后证明了迭代序列收敛.此技巧不仅得到了局部强解的存在性,而且也得到了小初值整体强解的存在性.另外,利用此方法,也可以得到非Ginzburg-Landau逼近液晶模型局部强解的存在性. 第四章,讨论上章Ginzburg-Landau逼近可压缩液晶动力学方程组强解的破裂准则问题,给出了一种只依赖于速度,而与密度和液晶指向矢无关的破裂准则,其主要方法是高阶能量估计. 第五章,证明了二维不可压缩液晶动力学方程组存在整体强解.这是非Ginzburg-Landau逼近不可压缩液晶方程的一个新结果,之前对二维不可压缩液晶方程模型的研究主要集中在Ginzburg-Landau模型(参见林芳华和柳春[65,66]).本章考虑的模型难点既含有梯度二阶项|▽d|2d,又含有非线性压力项div((△d+|▽d|2d)(?)d)和传输项d·▽u、(dT Ad)d,同时本章考虑的液晶指向矢d的边界条件是Dirichlet边界条件而非周期边界条件.本章的主要贡献有:得到系数在Sobolev空间下常微分方程局部解的存在性,进而利用改进的Galerkin方法得到近似解;通过在高阶能量不等式中引入新的项‖▽u‖L24,建立了新的先验估计;在动量方程中发现了u的新二阶椭圆算子,从而利用Stokes估计得到速度和指向矢在空间方向上更高的正则性,本章的另外一个结果是弱强唯一性,主要利用到插值定理. 第六章附录,从液晶物理性质出发建立起Ericksen-Lesile液晶动力学模型.本章主要工作是总结了物理学家们关于液晶连续性理论的工作.


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