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一类退化二阶椭圆型方程边值问题的适定性及解的正则性

何跃  
【摘要】: 本文主要目的在于研究一类二阶退化椭圆型方程边值问题的适定性及解的正则性。该类问题与几何中无穷小等距形变刚性问题的研究密切相关,其具有高阶正则性的解的存在性对研究几何问题尤为重要。而这类方程的特征形式在所研究的区域上是变号的,即在有的子区域上非负,而在其余的子区域上非正。因此,其适定性的研究也是值得深入讨论的。 全文共四章,第一章为绪论。 第二章在周期区域上考虑一类二阶半线性退化椭圆型方程边值问题的适定性及解的正则性,使用椭圆正则化方法和压缩映象原理来研究问题。首先考虑带有大参数λ的相应边值问题的适定性以及解的正则性。通过构造辅助边值问题,建立了各种能量不等式,并利用这些先验估计,以及Banach-Saks定理得到了H~1弱解存在性;利用退化椭圆型方程弱解与强解的一致性和已知的先验估计,还得到H~1弱解的唯一性。进而通过解常微分方程,可以得到弱解关于退化方向的一阶导数的一种积分表达式,从而在两种不同情形下建立了两个基本引理。由此基本引理及椭圆型方程正则性定理可得边值问题解的高阶正则性和高阶模估计。然后利用Fredholm-Riesz-Schauder理论和极值原理可得原来不带参数λ的相应线性问题的适定性及解的高阶正则性。 第三章在一般区域上考虑一类特殊二阶退化椭圆型方程边值问题的适定性及解的正则性。该一般区域具有光滑边界,并分为内部区域和外部区域两部分,两区域之间以一条光滑封闭曲线为交界。使用椭圆正则化方法分别在每个区域上讨论Dirichlet问题,即先构造辅助问题,并建立辅助问题的能量不等式,然后由紧性推理方法,利用辅助问题的解的某种收敛性来得到原问题的弱解存在性。具体说,在两区域闭曲线交界附近作辅助问题的解的H~1局部估计,而在每个区域内部的估计可由标准椭圆型方程H~2内估计直接得到。因此,不难得到辅助问题分别在每个区域上的全局H~1估计。然后,利用所得的全局估计,以及Banach-Saks定理可以得到 该类问题分别在每个区域上的H‘弱解存在性.进而,利用退化椭圆型方程弱解与 强解的一致性和已知先验估计,可得该类退化问题分别在每个区域上的H’弱解的 唯一性.然后,重复与周期区域情形相同的方法和论证,可以分别在每个区域上得 到其弱解的高阶正则性以及高阶模估计.最后,利用迹定理和局部化技巧可以把问 题在每个区域上的解拼起来,从而得到该类问题在整个一般区域上的Hl弱解存在 唯一性及解的高阶正则性和高阶模估计. 第四章使用Moser引理和压缩映象原理,得到一类特殊的二阶半线性退化椭圆 型方程边值问题解的存在性.


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