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瞬时混沌神经网络和一类时滞微分方程的动力学性质分析

赵维锐  
【摘要】: 本文首先介绍了神经网络模型和时滞微分方程的由来及其研究概况,利用Schauder不动点原理证明了瞬时混沌神经网络(TCNN)模型平衡点的存在性,利用Lyapunov函数方法给出了TCNN模型的渐近稳定性的充分条件,利用“不可分意味着混沌”研究了TCNN中混沌产生的充分条件。其次,本文对于时滞项满足局部正反馈或者局部负反馈条件的时滞微分方程,定义了离散Lyapunov泛函,并证明了这样定义的合理性及其有关性质,给出了全局吸引子存在的一些充分条件,利用这样定义的Lyapunov泛函证明了全局吸引子具有Morse分解的结构以及极限集的若干性质,同时,利用极限集的性质证明了在一定条件下,时滞项局部单调系统解的性质。最后,在前面理论结果的基础上,对于一些具体的时滞微分方程,给出了全局吸引子存在的条件以及具体结构。 在本文的第一章中,给出了神经网络以及时滞微分方程的研究进展,同时也给出了本文的结构。阐述了用动力学方法研究神经网络的重要性以及时滞微分方程理论研究的必要性。 在本文的第二章中,我们首先介绍了较常见的各种神经网络的数学模型,并依次给出了当连接权矩阵为常数矩阵和区间矩阵时,TCNN模型中不动点的存在性和全局渐近稳定性,在给出的理论证明中,利用了Schauder不动点定理,构造了新的Lyapunov函数。其次,在对Marotto定理本身的问题进行讨论的前提下,给出了一维TCNN模型在Li-Yorke意义下产生混沌的条件,这些条件从理论上对Aihara神经网络模型何时出现混沌进行了证明。这些结果与前人用数值计算方法所得结论相比较,本文给出了Aihara神经网络产生混沌的具体的参数范围,因此,这对于在组合优化和联想记忆等实际问题中设计混沌神经网络具有一定的指导作用。 A6s艺fae艺 在本文的第三章中,首先给出了对于一类时滞微分方程的用改变符号 次数来定义的离散Lyapunov泛函,并给出了其有关性质的理论证明,进而 说明在时滞项具有局部正反馈或者局部负反馈条件下的时滞微分方程这样定 义LyaPunov泛函的合理性,这是对前人在时滞项具有全局负反馈或者正反 馈条件下的Lyapunov泛函的推广。其次,给出了时滞微分方程的全局吸引 子的有关概念和全局吸引子存在的各种充分条件;顺便对在一定条件下,时 滞微分方程的解的有界性进行了估计;并对时滞项具有局部正反馈或者负反 馈条件下,全局吸引子如果存在,证明了其在一定条件下其具有Morse分解 结构。最后,给出了最终落在时滞项局部单调范围内的解的极限集的若干性 质,并给出了类似于Poincare一Bendixson定理的结论及其证明,这些结论的 证明尽管与Mallet一Paret的证明方法相似,但是本文的结论将他有关全局单 调的理论推广到局部单调中去了。 在本文的第四章中,首先对于时滞神经网络模型和光学双稳设备模 型,给出了其全局吸引子的存在性以及其全局吸引子具有Morse分解的结构 的结论,也给出了在一定条件下,其全局吸引子的具体结构以及当以时滞为 参数时的Hop份支产生的条件;其次,证明了具有有限食物供给系统和非线 性广告投资模型的解在适当条件下最终趋于正平衡点,并给出了前者的周期 解存在的条件;以前许多文章只是从数值计算上对这些系统何时具有混沌吸 引子何时不具有混沌吸引子进行说明,而本文的结论对不出现混沌吸引子的 条件给出了理论证明。 在本文的第五章中,我们列出了在离散神经网络和时滞微分方程中的 一些正在研究或者即将研究的问题。


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