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酉不变再生解析Hilbert模上的算子理论

徐宪民  
【摘要】:本文主要研究C~d中酉不变再生解析Hilbert模上的算子理论的一些问题。主要讨论了这类解析Hilbert模上的压缩算子的酉膨胀问题和von Neumann不等式;Toeplitz算子代数及其自同构群;复合算子的紧性和有界性;在d=1情形,研究了此类模的有序性;同时讨论了Riemann曲面上的复合算子。 第一章主要讨论酉不变解析Hilbert模的基本性质和结构。得到了酉不变再生解析Hilbert模生成函数的特征,给出一组规范正交基;讨论了此类模的重要性质及与所谓加权Arveson空间的关系。 第二章讨论酉不变再生解析Hilbert模上压缩算子的膨胀理论的一些问题,以及von Neumann不等式问题。讨论了乘子问题,刻划了乘法算子有界和本性正规的特征;给出了判别压缩算子是否有酉膨胀和von Neumann不等式是否成立的条件。 第三章研究Toeplitz算子代数及其自同构群刻划问题。证明了在此框架下,Toeplitz代数T_d~g有短正合序列,证明了Calkin代数T_d~g/K~C(B_d[s,t]),T_d~g/K的极大理想空间同胚于B_d[s,t]。值得注意的是这里的B_d[s,t]是具有厚度的“球壳”,与已知的关于Toeplitz算子代数的正合序列的结果有着本质的不同;给出了Fredholm Toeplitz算子的指标公式,并利用此指标公式刻划自同构群Aut(T_d~g)。 第四章研究模H_d~g(C~d)上的复合算子,并在d=1情形讨论H_d~g(C)的有序性。证明了在C~d中,若酉不变再生解析Hilbert模H_d~g(C~d)上的复合算子C_ψ有界,则ψ(z)=Az+B,且‖A‖≤1,若C_ψ是紧的,则ψ(z)=Az+B,且‖A‖<1;利用生成函数的幂级数的系数(?)判别空间H_l~g(C)的有序性,记,我们证明了若l=+∞,则H_l~g(C)是有序的;若l=0,则H_l~g(C)不是有序的;而当0<l<+∞时,H_l~g(C)可能有序,也可能无序。 第五章讨论Riemann曲面上的复合算子。利用计值函数N_ρ给出了正规复合算子和拟正规复合算子的特征,并在Riemann曲面具有有限三角剖分的条件下,证明了复合算子C_ψ的正规性、拟正规性、等距性、可逆性和酉性都是等价的,其特征是ρ:M→M是解析同胚。


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