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控制混沌动力系统中吸引子的稳定邻域及非线性生态系统中的可行吸引域的全局分叉

顾恩国  
【摘要】:本文首先引入非线性度量和最小Lipschiz常数的概念及其性质,结合极坐标变换首次提出了一种计算非线性动力系统中的稳定邻域(吸引子的吸引域)的算法。然后将该算法应用到混沌控制中的稳定邻域的估计。并分别以离散的Hénon映射系统Ikeda映射系统和连续的Lorenz系统和Rossler系统和Chua系统为例讨论了应用OPCL控制将系统控制到任意目标并且给出了这些目标的吸引邻域的大小。我们首次给出了可行吸引域的定义,并且首次应用分母为零的平面映射的奇异点集和焦点和焦前曲线理论以及不可逆平面映射的关键曲线理论,利用计算机辅助研究的方法对于较具体的二维离散的非线性动力系统,以一类生物种群模型例如时迟的logistic模型,考虑前两代种群密度对于当前种群的影响的logistic扩展模型,考虑两个饲养季节的成熟种群的存活模型以及捕食和被捕食两种生物种相互作用的模型为例,讨论了可行吸引域(保持生态种群持久的初始种群的范围)结构的全局分叉问题以及吸引子的结构变化问题。 本文第一章首先对已有的稳定邻域的估计方法和吸引域的确定方法进行了归纳和比较,然后对控制混沌的研究背景和现状进行综述,最后给出了平面映射的吸引域全局分叉的研究现状和进展情况。第二章用开环加闭环(OPCL)控制方法来控制离散的混沌动力系统,先给出一种选取反馈控制增益矩阵方法,然后利用最小Lipschiz常数结合极坐标变换提出一种计算吸引域最大半径的方法。第三章首先介绍连续系统的非线性度量的概念,然后证明非线性度量可以用来表示系统指数稳定性和估计稳定邻域的大小。我们将以非线性度量和极坐标变换为基础给出一个计算稳定邻域半径和指数衰减率的通用的精确算法。第四章将讨论退化的可逆映射,由于它们的逆映射有一个分量是分母为零的函数,因此我们应用分母为零的平面映射的奇异点集以及焦点和焦前曲线理论分析了考虑过去的两代种群密度对当前种群增长的 摘要 影响的离散种群模型的持久性对初值的依赖性,即确定初始的种群密度的范 围(即可行吸引域的大小)以保证系统在给定参数的情况下保持不灭绝。并 且给出它的可行吸引域的全局分叉(可行吸引域结构随参数变化情况)。所 用的方法是流形估计方法。第五章将利用二维不可逆映射系统的关键曲线理 论和分母为零的平面映射的奇异点集以及焦点和焦前曲线理论分析了考虑两 个饲养季节的成熟种群的存活模型与捕食和被捕食两种生物种群的相互作用 的模型,给出了可行吸引域结构随系统参数的变化的全局分又情况。特别是 对于捕食和被捕食模型,较好的解释了其可行吸引域是分形结构的形成机 理。在最后的第六章,我们首先指出可以应用第二章得到的算法来计算第四 章模型的稳定不动点的吸引域,然后对于我们所得到的结论的适用范围和存 在的问题以及今后需要进一步研究的方向进行了讨论与展望。


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