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构造性方法在若干非线性问题中的应用

嵇庆春  
【摘要】:本文讨论可积系统和对称约化的构造性方法在一些非线性问题中的应用。这两类构造方法在许多数学物理及微分几何的问题中起着重要的作用。全文分为四章: 第一章,绪论。在这一章中,我们简单介绍两类构造方法,及我们所要讨论的问题的发展历史与研究现状,并简要地介绍作者的主要工作。 第二章,约化的Maxwell-Bloch方程(组)的Darboux变换。我们构造了从约化Maxwell-Bloch方程(组)的任何解出发的Darboux变换。这种构造方法可以用纯代数运算来实现,并且可以无限构作下去,从而可以用代数算法得到多孤子解。这将[1]中从特殊解出发构造1-孤子解的方法推广到一般的情形。 第三章,仿射球和loop群方法。我们在这一章中利用loop群方法研究仿射球的构造问题。先证明了一个相应的Iwsawa型loop群分解定理,然后用它来给出双曲型和椭圆型仿射球的Weierstrass型表示。我们利用Weierstrass型表示来讨论双曲型和椭圆型仿射球的有限型构造方法。在这样的框架下还讨论了indefinite仿射球的各种构造方法。 第四章,复双曲空间中SO(n)-不变的Hamilton极小子流形。我们利用对称约化的方法显式地构造了复双曲空间B~n中具有SO(n)对称性的Hamilton极小子流形。证明了这些例子是完备的。而且当参数K≠0时得到的Hamilton极小子流形在通常意义下(即体积泛函对任何正常变分的临界点)不是极小的。


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