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二维轴对称活塞问题激波解的存在性

王泽军  
【摘要】:本文主要目的在于研究二维轴对称活塞问题的激波解的存在性。 高维轴对称活塞问题是研究守恒律方程组的一个重要物理模型。它是一维的活塞问题在高维情况下的推广。在文[6]中,作者首先考虑了当活塞以一定的速度b_0均匀向外扩散时,激波解的存在唯一性。作者证明,在这种情况下,必然存在一个的激波面,以某一速度s_0(s_0>b_0)向外扩散。在这篇论文中,作者还同时考虑了当活塞不是对称的,而是对称的一个扰动时激波解的存在性。 在文[6]的工作的基础之上,本文进一步研究当轴对称活塞的运动速度不是常数时,轴对称的激波解的存在性。由于二维的轴对称活塞问题和高维的情形没有本质的差别(其中一个系数有变动),因此我们在后面仅以二维为例进行讨论。我们的主要结果是,对于等熵的可压缩流,在一定的条件下,证明了激波解的局部存在性和整体存在性。而对非等熵的情形,即对整个的Euler方程组的情形,证明了激波解的局部存在性。 下面对全文的结构安排作一简单介绍。 第一章,绪论。在这一章中,我们简单介绍了活塞问题的物理背景,数学模型,并对论文的主要结果以及证明方法给以简单说明。 第二章给出了几种轴对称活塞问题的数学模型(包括一维等熵流,二维等熵流和二维不等熵流)和它们的详细推导,并给出了一些相关的基本性质。 第三章研究二维等熵可压缩流的轴对称活塞问题激波解的局部存在性。所采用的是牛顿迭代法的思想,即首先构造近似解,作为迭代过程的第一项,然后在近似解的附近将问题线性化,并对线性化的问题建立能量估计,最后进行迭代过程并证明收敛性。我们在一定的光滑性的假设下,证明了该问题问题的激波解的局部存在性。 第四章主要研究二维等嫡可压缩流轴对称活塞问题激波解的整体存在性。我们 采用的是改进的Glimm格式的方法。即首先利用随机取点的方法构造近似解,然后 分别建立局部的和整体的相互作用估计,最后借助于这些估计证明由所构造的近似 解形成的序列中,存在收敛的子序列。这样,我们在对气体的初始密度及轴对称活 塞的运动速度一定的假设条件下,得到了激波解的整体存在性。 第五章主要研究非等嫡流可压缩流的轴对称活塞问题激波解的局部存在性.这 里我们处理的是整个的Eule:方程组.同前面两章相比,这个模型更接近于真实的 物理模型。我们所采用的方法仍是牛顿迭代法.在一定的光滑性的假设下,证明了 该问题的轴对称激波解的局部存在性。


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