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几类时滞微分方程的动力学分析及混沌、分形应用实例讨论

赵冬华  
【摘要】:本文主要研究非线性动力学中两个方面的问题。第一部分为三类特殊类型的时滞微分方程解的稳定性、周期性以及振动性分析。其中第一类为分段连续的时滞微分方程,简称为EPCA。常微分方程的数值求解可以自然的产生EPCA,时滞微分方程的数值求解也可以产生EPCA。第二类为时滞依赖于状态的微分方程。虽然时滞依赖于状态的方式我们知之甚少,但这却是客观存在的,生物学家对于海豚集体自杀行为的解释提供了最好的例证。第三类为具有两个不同时滞的微分方程,即双时滞微分系统。 第二部分为混沌和分形应用的三个实例讨论。从上个世纪六七十年代开始,混沌和分形在很多领域都有了广泛而深刻的应用,本文对三个不同问题进行了讨论。第一个问题是关于常微分方程离散化过程可能引起的复杂行为的研究,由于误差的客观存在,可能出现bubble现象——双峰映射通向混沌的道路。第二个问题是关于混沌时间序列预测方法的研究,提出了新的联合预测方法,使得在预测时可以提供关于时间序列更多的信息。第三个问题是关于分形粗糙面散射的研究,反演得到分形粗糙面的分维数,实现粗糙面重构。 本文的第一章,介绍了时滞微分方程的研究进展,特别的关于分段连续的时滞微分方程,时滞依赖于状态的微分方程以及具有两个时滞的微分方程的产生背景和模型,阐述了这几类时滞微分方程理论研究的必要性;介绍了混沌及分形的发展,阐述了研究混沌和分形的重大意义及本文所讨论实例的背景和模型;同时也给出了本文的结构。 本文的第二章介绍了一类推广的捕捞模型,该模型属于分段连续时滞的微分方程。研究了其正平衡解的全局吸引性,和可能出现的复杂动力学行为——混沌;利用概周期序列的概念研究了分段连续时滞的微分方程的概周期解的存在性。


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