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数值微分及其应用

王彦博  
【摘要】:数值微分是一个在Hadamard意义下的典型的不适定问题。在测量过程中的微小误差有可能造成数值结果的巨大误差。一些方法已被用来解决这个问题。在这篇论文中,我们讨论了用吉洪诺夫正则化方法来求解数值微分问题。结果表明,一维问题的正则化解是分片样条函数;二维问题的正则化解是基于格林函数的。另外,通过一个非常简单的基于条件稳定性估计的选取正则化参数的方法,我们可以节省很大的计算量。 在本文中我们分别讨论了一维以及二维问题正则化解的存在性,唯一性,同时还给出了相应的误差估计。对于一维问题,我们讨论了高阶导数的数值微分;对于二维问题,我们讨论了一阶与二阶导数的数值微分。二维的高阶导数的数值微分,处理方法与二阶导数类似,但表现形式比较复杂,在此不作详细的论述。对于高维情况,处理方法与二维类似。 通过分析正则化解的性质,我们还发现正则化解在原函数不连续点附近具有blowup现象。利用这个性质我们可以确定原函数的不连续点,这是一个非常重要的结果,我们将在一些应用中表明这个结果的实用性。 最后,我们还给出一维与二维数值微分的一些应用。结果表明我们的方法具有简单、稳定和可快速实现的特点。


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