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粘弹性流体力学方程组的整体经典解和不可压缩极限

雷震  
【摘要】: 本文主要关心复杂流体动力学中的一些分析问题,作者对其中的两个基本的粘弹性流体力学模型的经典解的整体存在唯一性和不可压缩极限进行了研究。而且,作者建立了两个粘弹性流体力学旋转-应变模型,发现了几个重要的潜在物理条件,证明了小应变解的整体存在性。 首先,作者考察了一个不可压缩粘弹性动力学方程组,它由一个有衰减的动量守恒方程和一个没有衰减的传输方程耦合而成。该模型常用来从宏观角度上模拟应力张量有某种对称性的粘弹性材料的运动,而这样的粘弹性材料总存在贮能函数。该模型是粘弹性动力学中基本重要的模型。描述它的方程组的线性化方程组是没有衰减的,同时也没有尺度不变性。这些特征给研究带来了较大的困难:经典的能量方法[40]和所谓的广义能量积分方法[13,41,42,45,76,77,78]在这里都不再适用了。不过,最近林芳华、柳春、张平在[59]中证明了一个2维的粘弹性动力学方程组经典解的整体存在性。他们在那里成功的解决了系统的部分衰减带来的困难。作者受到他们的启发,并且找到了几个重要的潜在的物理条件,最终证明了存在贮能函数的一般粘弹性动力学方程组(不受维数限制、非常一般的贮能函数)的经典解的整体存在性.详细的内容见本文第二章。 在本文第三章,作者证明了2维不可压缩粘弹性动力学方程组小伸张解的整体存在性。实际上,材料的变形总是包含两部分,一部分是伸展,另一部分是旋转。然而,即使变形位移很小,旋转的部分也不一定小[36]。因此,对小伸张解的研究有重要的物理和现实意义。作者通过将变形梯度张量分解为应力部分和旋转部分,建立了2维不可压缩粘弹性动力学方程组的旋转-应变模型,证明了当变形梯度张量的应力部分初始值很小时系统存在整体的经典解,而不需要假设初始旋转角度是小的。这里的证明依赖于作者找到了变形梯度张量的应力部分和旋转角的梯度的衰减(在较弱意义下)。最后的结果表明:旋转的角度可以不是小的,而只要求其梯度小就能够保证2维不可压缩粘弹性动力学方程组的旋转-应变模型经典解的整体存在性。 在本文第四章,作者对第三章的结果进行了本质的改进。具体的讲,在第三章,变形梯度张量分解为两部分:一部分表示旋转,一部分表示应变。同时,那里要求变形梯度张量的旋转部分满足一个特定的传输方程,从而导出其变形梯度张量的应变部分所满足的动力学方程,并将它们与质量守恒方程、动量守恒方程耦合在一起,建立了所谓的粘弹性动力学的旋转-应变模型。那里变形梯度张量的应变部分并不是对称的。本章,作者建立一个新的模型,相对于上一章的模型而言,这里的模型本质的一个改进是:变形梯度张量被分解为旋转部分和对称的应变部分。这和FritzJohn在[36]中的想法是相同的,也符合人们的期望。在两维的情形下,利用2×2正交矩阵的特殊性质,作者能够建立旋转部分和对称的应变部分所满足的精确的传输方程,它们与质量守恒方程、动量守恒方程耦合在一起就构成了新的粘弹性动力学方程组(作者仍然将这个模型叫做旋转-应变模型),并且证明了当变形梯度张量的应变部分初始值充分小时模型的经典解是整体存在的。 最后,在第五章,作者回到第二章研究的模型,同时也考察了另外一个Oldroyd型的粘弹性动力学模型。通过不可压缩极限的方法,作者证明了这两个模型的经典解是整体存在的,并且可以看作是其相应的可压缩模型的经典解当Mach数趋向于0时的极限。在数值模拟和实际应用中,当Mach数比较小时,人们经常用不可压缩流体力学方程组的解作为可压缩方程组的解的一种近似。因此,这里的结果不仅在理论研究中具有重要意义,也为实际应用提供了一定的理论支持。


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