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万有Teichmuller空间与区域的单叶性内径

程涛  
【摘要】: 本文主要讨论下面两个密切相关的基本问题: 问题Ⅰ:一个区域内局部单叶的全纯(或亚纯)函数,在附加何种条件的情况下能保证它是整体单叶的? 问题Ⅱ:万有Teichmuller空间具有怎样的几何性质? 首先指出这两个问题之间联系的是L.V.Ahlfors.他指出了这两个问题在拟共形映射意义下的联系.随后O.Lehto在万有Teichmuller空间Schwarz导数嵌入模型中解释了Schwarz导数单叶性内径的几何意义,我们在万有Teichmuller空间pre-Schwarz导数嵌入模型中解释了pre-Schwarz导数单叶性内径的几何意义,从中可以看出问题(Ⅰ)和问题(Ⅱ)在Schwarz导数和pre-Schwarz导数意义下是等价的. 论文共分五章.第一章是引言,我们将简要介绍拟共形映射和Teichmuller空间理论,以及它们的最新的发展情况,并叙述本文研究的问题及所获得的结果. 在第二章中,我们将研究万有Teichmuller空间pre-shwarz导数嵌入模型的边界问题.万有Teichmuller空间是一个无穷维空间,其pre-Schwarz导数嵌入模型由无穷多个分支构成,T_1=L∪{(?) L_θ},边界性质十分的复杂.我们证明了L与任意的L_θ之间均存在无穷多个公共边界点,还证明了任一分支中的点到其它分支中心的距离的上确界均为6. 在第三章中,我们将研究区域的pre-Schwarz导数单叶性内径问题,也即万有Teichmuller空间pre-Schwarz导数嵌入模型中一点到边界的最小距离问题.我们将给出与Ahlfors-Lehto公式相对应的关于pre-Schwarz导数单叶性内径的公式,以往关于单径圆与上半平面的pre-Schwarz导数的单叶性内径的结果成了我们的简单推论,不仅如此,应用它还得到角域和强星像区域pre-Schwarz导数单叶性内径的下界. 在第四章中,我们将研究万有Teichmuller空间pre-Schwarz导数嵌入模型与区域的Schwarz导数单叶性内径之间的关系.我们发现,Schwarz导数单叶性内径与万有Teichmuller空间pre-Schwarz导数嵌入模型有密切的联系.在本章中,我们将给出关于区域Schwarz导数单叶性内径的两个不等式,这两个不等式反映了区域Schwarz导数单叶性内径与该区域在万有Teichmuller空间pre-Schwarz导数嵌入模型中相应的点到边界的距离在量上的联系. 在第五章中,我们将研究pre-Schwarz导数与拟共形扩张的问题.这个问题同样和万有Teichmuller空间pre-Schwarz导数嵌入模型密切相关.如何用pre-Schwarz导数来判定一个函数能否拟共形扩张,且其扩张后的函数的复特征与pre-Schwarz导数有何联系,这是一个十分有趣的问题,如何写出它的具体的扩张表达式则是一个十分困难却有意义的工作.在本章中,我们将就上述两方面进行研究.


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