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Dirichlet空间上的算子理论

赵连阔  
【摘要】: 本文分为两部分。 第一部分主要研究(解析)Dirichlet空间上的乘法算子(即解析Toeplitz算子)。 由坐标函数定义的乘法算子M_z(即Dirichlet移位)是Dirichlet空间上一个非常重要的算子,人们对它的不变子空间进行了广泛而深入的研究。自然地考虑M_z不变子空间的酉等价分类问题。S.Richter[43]证明了如果M_z的两个不变子空间M,N满足下列条件之一;(1)M(?)N,(2)M中含有外函数,则M与N酉等价当且仅当M=N。本文第一章,我们完整地回答了这个问题,即M_z的两个不变子空间酉等价当且仅当它们相等。 Dirichlet移位是1重加权单侧移位。对于一般的n+1(n≥0)重加权单侧移位,我们考虑Dirichlet空间上与之酉等价的乘法算子,在一定条件下,第二章节二的结果表明这类乘法算子只能由z~(n+1)定义。 第二章节三我们刻画了Dirichlet空间上由两阶Blaschke积定义的乘法算子的约化子空间。 算子分类是一个既复杂又困难的问题。具体到Dirichlet空间上,我们考虑有限阶Blaschke积定义的乘法算子的酉等价问题,第二章节四完全刻画了与两阶Blaschke积定义的乘法算子酉等价的算子。 这些结果都是完全不同于Hardy空间和Bergman空间上的相应结果。 本文第二部分主要研究调和Dirichlet空间上Toeplitz算子的代数性质。 第三章完全刻画了调和Dirichlet空间上由调和函数定义的Toeplitz算子的交换性与半交换性。


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