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一阶拟线性双曲组的奇性形成机制

杨永富  
【摘要】: 在此博士论文中,我们深入研究了一阶拟线性双曲型方程组的奇性形成机制. 首先,在第一章简要介绍一阶拟线性双曲组奇性形成机制的研究背景及现状. 为了方便,我们在第二章罗列了一些预备知识,包括一些定义,例如标准化坐标,弱线性退化和弱间断解,以及F.John的波分解公式. 人们通常认为对具线性退化特征场的(守恒律)拟线性双曲组不会导致激波形成.这在很长一段时间内都是一个猜想(见[4],[42]),而且至今仍然悬而未决.在第三章,提出一个证明此猜想的一般框架,并借助于块严格双曲、部分rich性以及逐块封闭系统的概念给出了满足此猜想的一些一般的拟线性双曲组. 在第四章,我们在第一象限{(t,x)|t≥0,x≥0}上对具非线性边界条件的拟线性双曲组考虑其混合初边值问题.在系统为严格双曲以及初始数据和边界条件具有某种“小”性的假设下,分别对线性退化和弱线性退化的系统得到了唯一整体C~1解及相应的L~1稳定性,并应用于两个对应的物理模型. 在最后一章,对具线性退化特征场的非齐次对角型拟线性严格双曲组及具常重特征的双曲组,在初始数据C~1模有界的假设下,证明了其Cauchy问题的经典解的奇性必为ODE奇性.对半无界区域上相应的初边值问题、Goursat问题以及具弱间断边界条件的Goursat问题也得到了相同的结论.


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