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万有Teichmüller空间与拟共形扩张及区域的单叶性内径

康悦明  
【摘要】: 本文围绕万有Teichmuller空间的几何性质展开,将万有Teichmuller空间与单叶函数,拟共形映射,Loewner链理论结合起来,研究了万有Teichmuller空间的不同模型下的测地线唯一性性质,解释了Pre-Schwarz导数模型下单叶性内径的几何意义,给出了在一个区域内局部单叶的全纯(亚纯)函数成为整体单叶函数的充分条件,并得到了区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径的下界估计公式。 论文共分五章,第一章是引言,我们将简要的介绍拟共形映射的发展以及应用背景,Teichmuller空间理论,Loewner理论,并叙述本文研究的主要问题及所获得的结果。 在第二章中,我们将讨论万有Teichmuller空间的测地线唯一性性质,研究万有Teichmuller空间不同模型下测地线的唯一性问题是否等价。通过构造具体的反例,我们给予这个问题一个否定的回答,即万有Teichmuller空间的不同模型下测地线的唯一性不具有等价性。 在第三章中,我们将研究以无穷远点为内点的区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径,结合万有Teichmuller空间的定义与性质,我们指出以∞为内点的拟圆区域D的Pre—Schwarz导数单叶性内径σ_I~*(D),即为该模型中一点到边界的最小距离。同时,我们给出了与Ahlfors—Lehto公式相对应的关于Pre—Schwarz导数的单叶性内径的公式,并应用它得到了椭圆外区域的Pre—Schwarz导数单叶性内径的下界估计值。 在第四章中,我们利用了Loewner理论,给出了对于单位圆内局部单叶的全纯(亚纯)函数成为整体单叶函数的充分条件。通过构造函数的拟共形扩张表达式,并结合万有Teichmuller空间的性质与Pre-Schwarz导数单叶性内径的几何意义,得到了拟圆区域Pre—Schwarz导数单叶性内径的下界估计公式。 在第五章中,我们将研究Pre-Schwarz导数与拟共形扩张的问题.这个问题同样和万有Teichmuller空间Pre-Schwarz导数嵌入模型密切相关。如何用Pre-Schwarz导数来判定一个函数能否拟共形扩张,且其扩张后的函数的复特征与Pre-Schwarz导数有何联系,这是一个十分有趣的问题,如何写出它的具体的扩张表达式则是一个十分困难却有意义的工作。在本章中,我们将就上述两方面进行研究。


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