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Bergman空间上的Von Neumann代数、约化子空间和相关的几何分析

黄寒松  
【摘要】: 本文中,我们主要研究了单位圆盘D上的Bergman空间L_a~2(D)上乘法算子M_φ的约化子空间和由它生成的von Neumann代数W~*(φ),以及相关的几何分析。由于Bergman空间是由面积测度定义的解析函数空间,其理论和复分析、复几何之间有着密切的联系。由von Neumann的二次换位定理,W~*(φ)″=W~*(φ),从某种意义上讲,研究W~*(φ)就等价于研究其换位子代数V~*(φ)(?)W~*(φ)′的结构,注意V~*(φ)也是一个von Neumann代数。由此,我们发现了Bergman空间上的算子论和几何、群论之间的一些内在联系。当φ是一个稀疏Blaschke积时,运用解析延拓和局部逆的技巧,我们建立了V~*(φ)中酉算子的表示,这一结果推广了Sun关于有限Blaschke积的工作[Sun1]。结合这些事实与算子论、复分析的工具,我们证明了当B是阶数不超过6的有限Blaschke积时,M_B的极小约化子空间的数目至多为deg B。当deg B=2和deg B=3,4时,相应的结果分别由[SW,Zhu]和[GSZZ,SZZ1]获得。 进一步,我们考虑了V~*(φ),其中φ是解析覆盖映射。我们给出了所有和M_φ交换的酉算子的表达,并由此证明了:对每个从单位圆盘D到复平面有界区域Ω上解析覆盖映射φ,von Neumann代数V~*(φ)交换当且仅当Ω的基本群π_1(Ω)交换;当且仅当Ω全纯同构于圆盘、去心圆盘、圆环之一。除了上面三种情形,我们还发现在所有其他情形下,V~*(φ)总是一个Ⅱ_1型因子,且W~*(φ)是一个Ⅱ_∞型因子。更深入地,我们考虑了φ为解析正则分支覆盖映射的情形,并发现V~*(φ)的结构与Riemann轨形(orbifold Riemann surface)及群论密切相关。我们获得了一些深入的结果,比如存在大量的无限Blaschke积B,使得M_B的约化子空间格有连续统的势,这和有限Blaschke积的情形是完全不同的。 我们还考虑了多圆盘D~n中具有H~∞-延拓性质的解析簇。作为应用,我们给出了D~3中三点Pick-Nevanlinna插值问题唯一性的一个充分条件。


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