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Fock型空间上的算子和边界表示

何薇  
【摘要】: 本文主要考虑Fock型空间F_s(0<s≤1)上的平移算子和边界表示问题。Fock型空间是典型的无界区域C~n上的解析Hilbert空间,是经典Fock空间的推广,其上算子理论和算子代数的研究具有深刻的数学物理背景。本文主要从以下几个方面考虑Fock型空间及其上的算子理论和算子代数的性质。 在第一章中,我们主要考虑了Fock型空间上的复合算子,完全刻画了一类Fock型空间上的有界和紧复合算子。这个结果显示,与有界区域上的解析Hilbert空间上的复合算子相比,Fock型空间上的复合算子具有简单的结构。并由此得到了Fock型空间F_s(0<s≤1)上一类自然的有界算子,即平移算子。 在第二章中,我们将Fock型空间纳入解析Hilbert模的框架之下,考虑了它的平移不变子空间在酉等价意义下的分类。证明了在平移算子组(T_1,…,T_n)诱导的模作用下,Fock型空间F_1的子模和商模都具有刚性。 在第三章中,应用Arveson的边界表示理论,我们主要研究了Fock型空间F_s(0<s≤1)上平移算子生成的算子代数,考虑了C~*-代数C~*(T_1,…,T_n)的恒等表示是否为其Banach子代数B(T_1,…,T_n)的边界表示的问题。在空间F_1上,答案是否定的;而在空间F_s(0<s1)上,答案是肯定的。我们也在Fock型空间F_1的子模和商模上考虑了边界表示问题。通过一个酉等价关系,将问题转化为加权Bergman空间商模和子模上的边界表示问题。在一维的情形,给出了Bergman商模上边界表示的一个充要条件。在高维的情形,给出了一个充分条件,并且指出边界表示问题与模的本质正规性之间的密切联系。 在第四章中,我们以Fock型空间F_1为模型研究不变子空间问题。首先通过对一类算子极大不变子空间的研究,得到了一个一般性的结论。而后将这个结论应用于Bergman移位算子和Fock型空间F_1上的平移算子,得到了一些有趣而深入的结果,并且指出了不变子空间问题最终解决的障碍所在。


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