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Pontryagin空间上J-对称算子代数若干问题的研究

陈庆  
【摘要】: 本文考虑Pontryagin空间上的J-对称算子代数.主要讨论了可析Π_k空间上的交换J-von Neumann代数的生成元;Π_k空间上J-对称算子代数的Kaplansky稠密性定理;Π_1空间上JC~*代数的K-对称理想、J-近似单位、不可约性;Π_1空间上的J-约化代数的J-对称性等问题.另外对于可析Π_k空间上交换J-von Neumann代数谱空间的极不连通性、Π_1空间上J-von Neumann代数的内导子、可析Π_2空间上交换J-vonNeumann代数的二次换位进行了讨论.本文安排如下: 第一章我们给出不定度规空间的基本概念、基本知识、研究背景. 可析Hilbert空间上的交换von Neumann代数可由其中的一个自伴算子生成,但这个事实对于可析Π_k空间上的交换J-von Neumann代数却未必成立.第二章中,作者在严绍宗、童裕孙、Strauss等学者工作的基础上,对可析Π_k空间上的交换J-vonNeumann代数的生成元进行讨论.证明了:可析Π_k空间上交换J-von Neumann代数可以分解成两个J-von Neumann代数的和,其中一个是有限个算子生成的交换J-von Neumann代数,另一个是交换幂零J-von Neumann代数.作为结果的应用,作者给出了可析Π_1空间上交换J-von Neumann代数的J-酉等价的充要条件. Kaplansky稠密性定理是Hilbert空间上对称算子代数的一个基本结果.在Π_k空间上此定理有两个自然的推广方向.童裕孙已经沿着其中一个方向得到了完善的结果.在另一个方向上,S.Sh.Masharipova将Kaplansky稠密性定理推广至Π_1空间上的J-对称算子代数上.作者在第三章对于Π_k空间上一类J-对称算子代数(?),证明了(?)存在有界集(?),(?)在(?)的强闭包的单位球中按强算子拓扑稠密,所得结论推广了S.Sh.Masharipova的结果. C~*代数的闭理想都是对称的,C~*代数的闭理想都存在近似单位.对于Hilbert空间上的算子组成的C~*-代数,如果它没有非平凡的闭不变线性子空间,则它也没有非平凡的不变线性子空间.但这些C~*代数的重要事实对于JC~*代数却是不成立的.作者在第四章采用分类讨论的方法,对于Π_1空间上非退化JC~*代数与各类退化JC~*代数的J-对称理想、J-近似单位、不可约性进行了讨论. 作者在第五章讨论了不定度规空间上的J-约化代数问题.指出:Π_k空间上非退化的J-约化代数,如果它包含一个极大交换J-von Neumann代数,则它是J-vonNeumann代数;由J-正规算子组成的非退化J-约化代数是J-von Neumann代数.且对于Π_1空间上退化的J-约化代数成为J-von Neumann代数的条件进行了讨论.证明了:Π_1空间上退化的J-约化代数(?),如果它包含一个极大交换J-von Neumann代数(?),且(?)不是M~1类的,则(?)是J-von Neumann代数. von Neumann代数上的导子都是内导子,可析Hilbert空间上交换von Neumann代数的谱空间是极不连通的,von Neumann代数与它的二次换位是相等的.这些事实对于J-von Neumann代数都是不成立的.在第六章中,作者在已有工作的基础上,对于可析Π_k空间上交换J-von Neumann代数谱空间的极不连通性、Π_1空间上J-von Neumann代数的内导子、可析Π_2空间上交换J-von Neumann代数的二次换位进行了讨论.


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1 陈庆;Pontryagin空间上J-对称算子代数若干问题的研究[D];复旦大学;2009年
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