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可迁模代数的Smash积的结构与Hopf-双Galois扩张

王彩虹  
【摘要】: Smash积和Hopf-Galois扩张是Hopf代数理论的两个重要概念,研究Hopf代数的常用方法之一是将其分解为smash积的形式,而Hopf-Galois扩张以简洁的方式反映了Hopf代数的结构.本文主要研究两方面的内容:一方面为半单Hopf代数与其可迁模代数的smash积的结构;另一方面为忠实平坦的Hopf-双Galois扩张. 本文研究了在特征为0的域上,半单Hopf代数H的可迁模代数A的性质,证明了当A有一个1-维理想时,A与H的smash积和H的一个可分的右余理想子代数上的全矩阵代数是同构的.该结论改进了Harrison[51]和Koppinen[67]等的相应结果.我们给出反例说明此结论中H的半单性条件不可缺少.而且对于半单的Hopf代数H及其右余理想子代数N,可能有不同的具有1-维理想的可迁H-模代数A和B,使得(?),其中s=dim A=dim B.特别地,当可迁的H-模代数(?)是集合X={x_1,x_2,…,x_n}上的函数代数时,H可以分解成相同维数的N_(11)-模的直和,A与H的Smash积A#H同构于M_n(N_(11)),其中(?). 对于模代数不具有1-维理想的情形,我们证明了在特征为0的代数闭域上,当H是一个半单Hopf代数,A是单的可迁H-模代数时,任取A~(op)的极小左理想I,令(A',I')是(A~(op),I)的稳定子,则smash积A#H同构于A'上的全矩阵代数,并且A'是半单的右H~*-模代数.这样,我们对此类smash积的研究就归结为对半单代数A'的研究. 在论文的第四章我们研究了忠实平坦的Hopf-双Galois扩张的性质,得到了Hopf-Galois扩张成为Hopf-双Galois扩张的充要条件,并给出了具体的构造,从而推广了Schauenburg在文献[99,104]中关于Hopf-双Galois对象的相关结论.


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