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算法设计中的若干前沿问题

孙贺  
【摘要】: 在这篇论文中,我们详细地研究了数据流模型、计算几何、扩展图理论和计算生物学领域中的若干算法设计的前沿问题。 数据流模型是伴随着互联网技术和大规模数据库的应用而日益受到重视的算法设计理论。自1996年N.Alon等人的开创性工作后,这一理论受到了广泛的关注。在本文中,我们将探讨如下三个问题: 在区间有效的零次频率矩估测问题的研究中,我们系统地改进了2002年Z.Bar-Yossef等人和2005年A.Pavan等人的工作,给出了这一问题的目前最优实现算法。依赖于数据流问题的规约技术,我们给出了最大支配范数的时间复杂度更低的算法。 在XML流相关性的研究中,针对树编辑距离这一测度的非直观性,我们定义了两个树之间的Hamming测度这一直观的比较方法。依赖于N.Nisan伪随机数发生器理论和稳态分布,我们给出了在数据流模型下计算这一测度的算法。实验结果表明Hamming测度能够很好地表示不同XML文档的相似性。 针对互联网应用中选举问题的需要,并结合已有的冰川、频繁出现元素等统计信息的局限,我们在第四章定义了真实冰川的概念。运用误差函数、Count-Min摘要技术和Loglog计数摘要,我们给出了数据流模型下计算真实冰川的概率算法。 论文的第二部分探讨最小Manhattan网络的计算复杂度和近似算法。这一问题于1999年由J.Gudmundsson等人提出。在那篇被广泛引用的文献中,J.Gudmundsson提出了这一领域的三个最重要的问题:(1)这一问题是否是NP-完全的;(2)这一问题是否存在PTAS算法;(3)这一问题是否存在2-近似算法。 在论文的第五章中,我们首次回答了J.Gudmundsson的第一个问题:最小Manhattan网络问题是强NP-完全的。在同一章中,我们将详细探讨将3-SAT问题规约到最小Manhattan网络问题的证明细节。 在第六章中,我们给出时间复杂度为O(n log n)的2-近似最小Manhattan网络构造算法。与已有的基于动态规划或线性规划的2-近似算法相比,本章证明了贪心策略即可以给出问题的2-近似算法。 在扩展图这一部分中,我们分析Ramanujan图的构造算法。基于Ramanujan猜想,G.A.Margulis等人在二十世纪70年代首次运用数论的方法给出了谱扩展参数达到最优的扩展图——Ramanujan图。此后的一系列构造大多基于高深的数论和拓扑理论。随着理论计算机科学中退随机和编码理论的需要,人们希望运用组合数学的方法构造任意正则的Ramanujan图。在论文的第九章,我们首先定义了标准Z-积的一个自然推广。其次,结合A.Ben-Aroya等人在2008年的工作,我们给出了构造近-Ramanujan图的组合算法。 本文的最后一部分考察了计算生物学领域中的DNA序列编码问题。与传统的编码理论不同,DNA序列的编码不仅需要满足传统意义上的Hamming距离约束,而且由于DNA序列需要满足特定的热力学性质等生物约束,从而使得对这一问题的研究变得更加复杂。M.-Y.Kao等人在2005年第一次系统化地提出了这一问题,并给出解决问题的概率算法。本文的第十章给出了满足特定计算生物学约束的DNA序列的确定性构造算法。与M.-Y.Kao等人的概率构造相比较,我们的构造效率更高。


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