收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

非线性发展方程整体解的渐近性态及其稳态解

张艳艳  
【摘要】: 非线性发展方程,就是以时间t为其一个独立变量的非线性偏微分方程。从数学以及物理,生物,力学,化学,材料科学等自然科学分支中提出的许多问题,最后都归结为一个非线性发展方程问题,例如生物学上提出的Chemotaxis方程,材料学上提出的薄膜方程等。而非线性发展方程整体解的渐近性态,特别是当时间t→+∞时整体解是否收敛到某个稳态解(相应的稳态问题的解),是非线性发展方程研究中的一个基本问题。对这个问题的研究,在理论和应用上都具有重要意义。 本学位论文所关心的非线性发展方程为那些对任意初值都存在唯一整体有界解,非线性项解析,且能生成梯度系统的自治方程。对于这类方程,针对空间维数为高维(n≥1)和一维(n=1)的不同情形,我们将采用不同的方法来研究当时间t→+∞时整体解对稳态解的收敛性。 对于高维的发展方程,我们将通过证明相应的Lojasiewicz-Simon不等式来得到整体解的收敛性。这个突破性的方法是在1983年L. Simon[80]首次应用于如下初边值问题的:其中Ω(?) Rn是具有光滑边界r的光滑区域。基于对任意给定的初值,(0.0.1)在某空间存在唯一整体有界解的假设,他证明了若(0.0.1)的非线性项f关于u是解析的,则当t→+∞时整体解收敛到某个稳态解。他的基本思想是将波兰数学家S.Lojasiewicz的关于有限维空间上解析函数的Lojasiewicz不等式推广到无穷维空间上,并运用该所谓的Lojasiewicz-Simon不等式来得到整体解的收敛性。 然而对于特殊的一维发展方程,其稳态问题为一个非线性常微分方程的两点边值问题,这有利于我们把稳态解集合研究的更清楚。尤其是,通常我们可采用一些方法,如相平面分析法来证明稳态解集合的离散性(稳态解个数为有限或可数),继而运用梯度系统理论也可得到整体解的收敛性。相平面分析法的主要想法是把求稳态解个数的问题转化为求两簇单变量解析函数在某个区域内交点个数的问题,从而利用函数的解析性来得到稳态解集合的离散性。 需要指出的是,通过证明稳态解集合离散来证明整体解收敛,这种思路通常不适用于高维(n≥2)发展方程。以(0.0.1)为例,2002年,P. Polacik和F. Simon-don在[72]中给出反例表明当空间维数n≥2时,存在甚至为无穷次可微的非线性项f,使得(0.0.1)有界整体解的ω-极限集(此时是稳态解集合的子集)是一个与单位圆S1同胚的连续集(非线性项为Cm函数,m是任意整数的反例见[71])。 本学位论文将运用以上两种方法来分别证明两类高维(n≥1)非线性发展方程和两类一维非线性发展方程整体解的收敛性。具体地说,本学位论文主要内容如下: 第一章,绪论。首先回顾问题背景,研究历程及现状,介绍本文所考虑问题的特点,难点及本文工作的创新点,然后介绍动力系统中的基本概念以及收敛性证明方法的步骤,最后列出常用不等式。 第二章,分两节分别考虑了一类高维的半线性抛物型Chemotaxis方程组和一类高维的拟线性退化抛物型Chemotaxis方程组。我们证明了相应的Lojasiewicz-Simon不等式,并运用它得到了两类方程整体解收敛到某个稳态解的结果,并进一步估计了收敛速率。需要指出两点: 第一,本章我们要考察的能量泛函不再解析,而只是一次连续可微,从而Simon最初的方法不能直接应用。为克服这一困难,基于[26],借助非线性泛函中极大单调算子理论,我们建立了非光滑型的Lojasiewicz-Simon不等式; 第二,证明整体解关于时间t的一致有界性,这无论是对研究解本身的性质,还是研究整体解的渐近性态,都是很关键的。虽然本章两节考虑的Chemotaxis模型都具有体积填充效应,但有本质不同(详见下文),这导致容易用来得到第一节中方程组整体解关于时间t的一致有界性的方法,不能用于第二节中的方程组。另外,又由于第二节方程组的拟线性和退化性,给证明整体解关于时间t的一致有界性带来了很大困难。为此,我们引入了非退化的辅助系统,并利用Moser迭代方法证明了辅助系统整体解的一致有界性。然后,通过仔细比较原方程组和辅助方程组,我们最终得到了原方程组整体解的一致有界性。 第三章,分两节分别考虑了一类一维的薄膜方程和一类一维的半线性抛物型Ch-emotaxis方程组。我们首先运用相平面分析法证明了稳态解集合的离散性,然后运用梯度系统理论,得到了两类方程整体解收敛到某个稳态解的结果。就用相平面分析法来估计一维方程稳态解个数这个问题来讲,一些方程已在文献中被讨论过。然而,本章所讨论的方程稳态问题的非线性项都不像文献中是一个多项式那么简单,这导致了文献中某些方法的失效。在本节中,我们使用了新的方法,尤其是使用了Schaff[77]中的一些结论,这些方法的适用范围更广泛。


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 张媛媛;;一类四阶非线性发展方程解的整体存在性[J];开封大学学报;2009年01期
2 尚亚东;一类四阶非线性发展方程整体解的存在性与“blowup”现象[J];工程数学学报;2000年S1期
3 于涛;徐润章;;一类非线性发展方程解的爆破[J];哈尔滨工程大学学报;2006年04期
4 张媛媛;赵科;;一类四阶非线性发展方程解的整体不存在性[J];科技信息;2009年21期
5 叶耀军;一类二阶非线性发展方程整体解的渐近性(英文)[J];数学研究与评论;2004年01期
6 阳志锋,韩流冰;一个非线性发展方程解的爆破[J];西南交通大学学报;2004年03期
7 盛万成,盛其荣;非线性发展偏微分方程的一些结果[J];新疆大学学报(自然科学版);1999年03期
8 张旭峰;;带有耗散的半线性双曲方程的解的不变集合[J];科技创新导报;2011年12期
9 陆启韶 ,蒋正新;一类非线性发展方程的分叉问题[J];北京航空航天大学学报;1985年02期
10 梁进;肖体俊;;一致凸Banach空间中自治非线性发展方程解的渐近性态[J];云南师范大学学报(自然科学版);1991年04期
11 江成顺,柯敬伟,王书彬;一类非线性发展方程及其相应的发展算子[J];信息工程学院学报;1994年01期
12 吕蓬,吴耀红,彭武安,张辉;一类非线性发展方程的计算稳定性[J];现代电力;2001年04期
13 杨志坚;一类非线性发展方程整体解的存在性、渐近性与解的爆破(英文)[J];应用泛函分析学报;2002年04期
14 陈登远,曾云波;非线性发展方程的转换算子Ⅲ[J];数学学报;1985年02期
15 张健;一类非线性发展方程解的熄灭行为[J];应用数学学报;1990年03期
16 斯仁道尔吉;一个非线性发展方程的准确解[J];内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版);1990年03期
17 尚亚东,钮鹏程;几个非线性发展方程的精确孤立波解[J];纯粹数学与应用数学;1998年01期
18 尚亚东;几个非线性发展方程的精确孤立波解[J];甘肃科学学报;1998年04期
19 宋叔尼,傅显隆;一类非线性发展方程解的存在性[J];东北大学学报(自然科学版);1999年03期
20 那顺布和,苏志勋,丁效华;一类非线性发展方程的AGE方法与并行计算[J];哈尔滨工业大学学报;2004年06期
中国重要会议论文全文数据库 前10条
1 朝鲁;;求解非线性发展方程精确解的一个新方法[A];数学·力学·物理学·高新技术交叉研究进展——2010(13)卷[C];2010年
2 李双良;卢炬甫;;含径移和对流的黑洞吸积流的整体解[A];中国天文学会高能分会2004年学术年会论文集[C];2004年
3 张保生;曹进德;;一类奇异非线性双曲型方程不存在整体解[A];数学·物理·力学·高新技术研究进展——1998(7)卷——中国数学力学物理学高新技术交叉研究会第7届学术研讨会论文集[C];1998年
4 陈英杰;张笑宁;付宝连;程剑峰;陈杰;徐李;;应用混合变量法求解均布谐载作用下的三边固定一边自由矩形板的受迫振动[A];第14届全国结构工程学术会议论文集(第一册)[C];2005年
5 王杭州;陈丙珍;何小荣;赵劲松;邱彤;;非线性过程系统稳态解及其稳定性分析工具[A];2009中国过程系统工程年会暨中国mes年会论文集[C];2009年
6 江在森;张希;王双绪;祝意青;;整体解算地壳视应变的空间分布[A];1997年中国地球物理学会第十三届学术年会论文集[C];1997年
7 余玅玅;唐应辉;;多级适应性延误休假M~x/G(M/G)/1可修排队系统——一些排队指标[A];第四届中国不确定系统年会论文集[C];2006年
8 冯平;王尔智;马智刚;王维俊;施元春;;电力系统铁磁谐振的理论分析[A];电工理论与新技术2004年学术研讨会论文集[C];2004年
9 朱位秋;邓茂林;;拟Hamilton系统随机平均法在活性布朗粒子动力学研究中的应用[A];祝贺郑哲敏先生八十华诞应用力学报告会——应用力学进展论文集[C];2004年
10 方慧娟;刘正东;郑军;曾福华;;量子调控下的非线性效应[A];2007年中国青年光学学术研讨会论文摘要集[C];2007年
中国博士学位论文全文数据库 前10条
1 张艳艳;非线性发展方程整体解的渐近性态及其稳态解[D];复旦大学;2010年
2 刘春平;非线性发展方程求精确解若干问题的研究[D];扬州大学;2011年
3 王艳萍;非线性发展方程中的几个问题[D];郑州大学;2003年
4 王强;两类非线性发展方程的分析与计算方法研究[D];天津大学;2011年
5 刘恂;几类非线性发展方程的精确行波解的研究[D];江苏大学;2010年
6 刘绍庆;非线性发展方程精确解的研究[D];中国海洋大学;2012年
7 套格图桑;论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进[D];内蒙古师范大学;2011年
8 曾嵘;几类非线性发展方程解的性质的研究[D];重庆大学;2011年
9 张颖;一类非线性发展方程(组)初值问题的定性理论[D];西北大学;2012年
10 李文婷;AC=BD模式下非线性发展方程求解的若干问题研究[D];大连理工大学;2010年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 李军红;用标准的和推广的tanh函数展开法求解非线性发展方程[D];西北大学;2010年
2 宋朝晖;非线性发展方程的扩展守恒律和孤子解[D];大连理工大学;2010年
3 杨莉;一类非线性发展方程解的存在性及渐近行为研究[D];长沙理工大学;2009年
4 王灯山;一类非线性发展方程的非行波解的构造[D];大连理工大学;2005年
5 徐润章;两类具异号非线性源项的发展方程[D];哈尔滨工程大学;2007年
6 高华;Exp-函数法和(G'/G)-展开法在非线性发展方程求解中的应用[D];西北农林科技大学;2010年
7 蔡晓娜;几类非线性发展方程的精确解[D];浙江师范大学;2010年
8 陈良;非线性发展方程的系统求解方法及其精确解析解[D];安徽大学;2004年
9 套格图桑;两类辅助方程及其非线性发展方程(组)的精确孤立波解[D];内蒙古师范大学;2004年
10 扎其劳;两类新辅助方程及其应用[D];内蒙古师范大学;2004年
中国重要报纸全文数据库 前10条
1 信言;管理症结 整体解决[N];中国财经报;2002年
2 周家旺;形成整体解决机制[N];中国工商报;2004年
3 计育青;华为构建安全网络整体解决之道[N];中国电子报;2003年
4 记者 王龙飞;软件业界翘楚 诊断企业管理[N];山西经济日报;2002年
5 扬文;构建安全网络整体解决之道[N];金融时报;2003年
6 黄瑞萍 牛树基;岷县整村推进扶贫显成效[N];甘肃经济日报;2006年
7 本报记者 徐娜;部署烟叶原收原调工作[N];闽北日报;2007年
8 记者 李京;国内软件企业并购暗流涌动[N];中国财经报;2008年
9 郭;你了解电信增值服务吗?[N];国际商报;2004年
10 胡敏;Arrow、Avnet为方案商和ISV“牵线”[N];电脑商报;2006年
中国知网广告投放
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978